树形结构基础

如下 \(n\le 10^5\)

1 Codeforces 686D

给你一棵树，求出这棵树全部子树的重心。

解

树的重心性质：

1. 以这个点为根，那么全部的子树（不算整个树自身）的大小都不超过整个树大小的一半。
2. 把两棵树连起来，新树的重心一定在原来两棵树的重心连线的路径上。

在dfs的过程当中，咱们利用性质一、2，设当前节点为 \(u\) ， \(u\) 的其中一个子节点为 \(v\) ，若是 \(v\) 的子树大小超过了 \(u\) 的一半，那么 \(u\) 的子树的重心必定在 \(u\) 和 \(v\) 的子树重心的连线上，咱们从 \(v\) 的子树重心暴力往上跳，每次检验是否合法便可。

2 Codeforces 191C

给你一棵树和若干对节点，问对于树的每条边，有多少对节点间的路径通过它。

解

对于每一对点，在这两个点上打上+1标记，在它们的lca上打上-2标记，最后用树上差分查询。

3 Codeforces 842C

定义一个节点的美丽值为从它到根的路径上的全部点的点权的gcd。有若干个询问，询问节点最大可能的美丽值。对于每一个询问，你能将树中某一个节点的点权改成0。\(gcd(a,0)=a\)。根节点美丽值为其点权。
点权 \(\le 10^5\) 。

解

咱们发现点权不大，因而在dfs下去的过程当中，咱们维护目前扫过的点的全部因子出现的次数。
设当前节点深度为 \(d\) ，根节点深度为0。
在寻找当前数的因子的过程当中，若是有一个因子出现次数 \(≥d\) ，那么这个因子必然就是当前节点的答案之一。
另外，还要考虑不选当前节点的状况。
这样能保证复杂度为 \(O(n\sqrt{n})\) 。

4 Codeforces 813C

有A,B两我的在一棵树上van，A位于1节点，B位于x节点，B先手，每一次A,B能够移动到相邻的节点，也能够不动。当A,B相遇时游戏结束。如今A想要最小化游戏次数，B想要最大化游戏次数。输出最终的游戏次数。

解

找到知足 \(disB[u]<disA[u]\) 且 \(disA[u]\) 最大的节点便可。

5 Codeforces 682C

定义一个节点 \(v\) 是伤心的，若是它的子树中存在一个节点 \(u\) ，使得 \(dis(v,u)>a[u]\) ，其中 \(a[u]\) 为 \(u\) 的点权， \(dis(v,u)\) 为从 \(v\) 到 \(u\) 路径上的边权和。如今你能够进行若干次操做，每次能够删除当前树中的一个叶节点，问最少删除几个节点能使树中没有一个节点是伤心的。

解

对于一个节点 \(u\) ，若是它到根节点的路径上的某一段边权后缀和大于它的点权，那么这个节点必然会使某一个节点伤心，删除这个节点。dp弄一下。

6 Codeforces 337D

有一本魔书在一棵树的一个节点上，这棵树上与它距离不超过 \(d\) 的点会被影响。如今告诉你目前发现已经被影响到的点（可能还有一些点也被影响，但没有告诉你），请你判断魔书有多少种可能的位置。没有输出0。

解

找到距离最远的两个被影响到的点，计算有多少个点到它们的距离 \(\le d\) 。

7 Codeforces 782C

给你一棵树，要给每一个节点染色，要求任意相邻的三个节点不能是相同的颜色。问最少使用几种颜色。

解

对于每一个节点，颜色从1开始++，若是该颜色使用过就跳过。

8 Codeforces 739B

一棵树，问对于全部的节点，它们各自能控制多少个节点。
节点 \(v\) 能控制节点 \(u\) ，当 \(u\) 在 \(v\) 的子树中，且 \(dis(v,u)>a[u]\) ，其中 \(a[u]\) 为 \(u\) 的点权， \(dis(v,u)\) 为从 \(v\) 到 \(u\) 路径上的边权和。

解

咱们发现，对于一个节点 \(u\) ，能控制它的节点一定是它到根节点路径上的点的一个后缀。因此扫到一个节点 \(u\) 时，咱们二分一个节点 \(v\) ，使 \(v\) 是深度最小的能控制 \(u\) 的节点，而后用树上差分将从 \(v\) 到 \(u\) 的父亲的全部节点都+1，最后统计每一个节点加了几回。

9 Codeforces 980E

一棵树，第 \(i\) 个节点的点权为 \(2^i\) ，如今能够进行 \(k\) 次操做，每次能够删除当前树的一个叶节点，要最大化剩下节点的点权和。问应该删除哪些节点。

解

首先考虑贪心，由于前 \(i-1\) 个节点的点权加起来还没第 \(i\) 个节点的点权大。
咱们不妨设根节点为 \(n\) 号节点，而后从大到小枚举其余节点，每次检验当前节点是否能保留。若是当前节点要保留，那么它的全部祖先也要保留。然而，保留的节点个数不能超过 \(n-k\) 个。 怎么统计当前要保留的节点个数？因为保留的节点是单调的，因此用倍增找到第一个未被标记为保留的节点，它到当前节点的距离+1就是须要保留的节点个数。