三分法求单峰(单谷)函数极值

<font size=4> ## what is 三分法 对于二分，相信你必定十分熟悉。就是在一个具备单调性序列上查找你所须要的数字。因为其单调性，你每一次在查找是就能够将规模缩小一半，大体就是： 1.假设这个数列单调递增 2.维护一个区间左端点$l$，区间右端点r和中间点$mid$ 3.若是$mid$比想要的值小，则左边确定不能够，那么$l=mid$ 2.若是$mid$比想要的值大，则右边确定不能够，那么$r=mid$ 所以大体就能够这么写： ``` while (l+1<r) { int mid=l+r>>1; if (v<a[mid) r=mid; else l=mid; } ``` 不保证代码正确，可是具体思想就是这样。 三分也同样啊： 对于一段抛物线（极值的一边单调递增，极值的一边单调递减）咱们就能够把它分红三段，根据其图像特性来求解。

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三分法求二次函数峰值

对于三分，咱们用左端点$lmid$和$rmid$进行维护，将这个图像分红三段。而且图像区间的左右端点分别是$l<r.$则咱们能够选择这么考虑：（以二次函数$y=-5x^{2}+8x-1$为例） 如图所示： 当$lmid$处于$A$点,$rmid$处于$B$点时：可将左端点$l$缩到$lmid$，右端点不变以保证极值存在。 当$lmid$处于$A$点,$rmid$处于$C$点时：照样能够将$l$缩到$lmid$。 同理， 当$lmid$处于$C$点,$rmid$处于$D$点时：可将右端点$r$缩到$rmid$，左端点不变以保证极值存在。 当$lmid$处于$B$点,$rmid$处于$B$点时：照样能够将$r$缩到$rmid$。 故获得结论： $$f(l)<f(r)→l=lmid$$ $$f(l)≥f(r)→r=rmid$$ 而后就进行简单的代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,c;
inline double f(double x) {
	return a*x*x+b*x+c;
}
int main(void)
{
	cin>>a>>b>>c;
	//形如y=ax^2+by+c的二次函数
	double l=-1e9,r=1e9;
	while (l+1e-9<r)
	{
		double lmid=l+(r-l)/3.0;
		//图像上位于1/3部分的靠左的mid值 
		double rmid=l+(r-l)/3.0*2.0;
		//图像上位于2/3部分的靠右的mid值
		if (f(lmid)<f(rmid)) l=lmid;
		else r=rmid;
		//求单峰极值 
	} 
	cout<<"X="<<l<<'\n';
	cout<<"Y="<<f(l); 
}

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二次函数求单谷谷值 & 高次函数应用

经过画图和分类讨论$a<0$的状况，不可贵出： $$f(l)＞f(r)→l=lmid$$ $$f(l)≤f(r)→r=rmid$$ 代码实现只要if内反一下便可：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,c;
inline double f(double x) {
	return a*x*x+b*x+c;
}
int main(void)
{
	cin>>a>>b>>c;
	//形如y=ax^2+by+c的二次函数
	double l=-1e9,r=1e9;
	while (l+1e-9<r)
	{
		double lmid=l+(r-l)/3.0;
		//图像上位于1/3部分的靠左的mid值 
		double rmid=l+(r-l)/3.0*2.0;
		//图像上位于2/3部分的靠右的mid值
		if (f(lmid)>f(rmid)) l=lmid;
		else r=rmid;
		//求单峰极值 
	} 
	cout<<"X="<<l<<'\n';
	cout<<"Y="<<f(l); 
}

若是须要高次函数过其它图像，只要在f内稍做修改便可。