机器学习实战之PCA

一，引言

　　降维是对数据高维度特征的一种预处理方法。降维是将高维度的数据保留下最重要的一些特征，去除噪声和不重要的特征，从而实现提高数据处理速度的目的。在实际的生产和应用中，降维在必定的信息损失范围内，能够为咱们节省大量的时间和成本。降维也成为了应用很是普遍的数据预处理方法。

　　降维具备以下一些优势：

（1）使得数据集更易使用

（2）下降算法的计算开销

（3）去除噪声

（4）使得结果容易理解

　　PCA(principal Component Analysis)，即主成分分析方法，是一种使用最普遍的数据压缩算法。在PCA中，数据从原来的坐标系转换到新的坐标系，由数据自己决定。转换坐标系时，以方差最大的方向做为坐标轴方向，由于数据的最大方差给出了数据的最重要的信息。第一个新坐标轴选择的是原始数据中方差最大的方法，第二个新坐标轴选择的是与第一个新坐标轴正交且方差次大的方向。重复该过程，重复次数为原始数据的特征维数。

　　经过这种方式得到的新的坐标系，咱们发现，大部分方差都包含在前面几个坐标轴中，后面的坐标轴所含的方差几乎为0,。因而，咱们能够忽略余下的坐标轴，只保留前面的几个含有毫不部分方差的坐标轴。事实上，这样也就至关于只保留包含绝大部分方差的维度特征，而忽略包含方差几乎为0的特征维度，也就实现了对数据特征的降维处理。

　　那么，咱们如何获得这些包含最大差别性的主成分方向呢？事实上，经过计算数据矩阵的协方差矩阵，而后获得协方差矩阵的特征值及特征向量，选择特征值最大（也即包含方差最大）的N个特征所对应的特征向量组成的矩阵，咱们就能够将数据矩阵转换到新的空间当中，实现数据特征的降维（N维）。

　　既然，说到了协方差矩阵，那么这里就简单说一下方差和协方差之间的关系，首先看一下均值，方差和协方差的计算公式：

　由上面的公式，咱们能够获得一下两点区别：

（1）方差的计算公式，咱们知道方差的计算是针对一维特征，即针对同一特征不一样样本的取值来进行计算获得；而协方差则必需要求至少知足二维特征。能够说方差就是协方差的特殊状况。　

（2）方差和协方差的除数是n-1，这样是为了获得方差和协方差的无偏估计。具体推导过程能够参见博文：http://blog.csdn.net/maoersong/article/details/21823397

二，PCA算法实现

　　将数据转换为只保留前N个主成分的特征空间的伪代码以下所示：

去除平均值
计算协方差矩阵
计算协方差矩阵的特征值和特征向量
将特征值排序
保留前N个最大的特征值对应的特征向量
将数据转换到上面获得的N个特征向量构建的新空间中（实现了特征压缩）

　　具体的代码为：

#导入numpy库
from numpy import *

#解析文本数据函数
#@filename 文件名txt
#@delim 每一行不一样特征数据之间的分隔方式，默认是tab键'\t'
def loadDataSet(filename,delim='\t')
    #打开文本文件
    fr=open(filename)
    #对文本中每一行的特征分隔开来，存入列表中，做为列表的某一行
    #行中的每一列对应各个分隔开的特征
    stringArr=[line.strip().split(delim) for line in fr.readlines()]
    #利用map()函数，将列表中每一行的数据值映射为float型
    datArr=[map(float.line)for line in stringArr]
    #将float型数据值的列表转化为矩阵返回
    return mat(datArr)

#pca特征维度压缩函数
#@dataMat 数据集矩阵
#@topNfeat 须要保留的特征维度，即要压缩成的维度数，默认4096    
def pca(dataMat,topNfeat=4096):
    #求数据矩阵每一列的均值
    meanVals=mean(dataMat,axis=0)
    #数据矩阵每一列特征减去该列的特征均值
    meanRemoved=dataMat-meanVals
    #计算协方差矩阵，除数n-1是为了获得协方差的无偏估计
    #cov(X,0) = cov(X) 除数是n-1(n为样本个数)
    #cov(X,1) 除数是n
    covMat=cov(meanRemoved,rowvar=0)
    #计算协方差矩阵的特征值及对应的特征向量
    #均保存在相应的矩阵中
    eigVals,eigVects=linalg.eig(mat(conMat))
    #sort():对特征值矩阵排序(由小到大)
    #argsort():对特征值矩阵进行由小到大排序，返回对应排序后的索引
    eigValInd=argsort(eigVals)
    #从排序后的矩阵最后一个开始自下而上选取最大的N个特征值，返回其对应的索引
    eigValInd=eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]
    #将特征值最大的N个特征值对应索引的特征向量提取出来，组成压缩矩阵
    redEigVects=eigVects[:,eigValInd]
    #将去除均值后的数据矩阵*压缩矩阵，转换到新的空间，使维度下降为N
    lowDDataMat=meanRemoved*redEigVects
    #利用降维后的矩阵反构出原数据矩阵(用做测试，可跟未压缩的原矩阵比对)
    reconMat=(lowDDataMat*redEigVects.T)+meanVals
    #返回压缩后的数据矩阵即该矩阵反构出原始数据矩阵
    return lowDDataMat,reconMat

　　上述降维过程，首先根据数据矩阵的协方差的特征值和特征向量，获得最大的N个特征值对应的特征向量组成的矩阵，能够称之为压缩矩阵；获得了压缩矩阵以后，将去均值的数据矩阵乘以压缩矩阵，就实现了将原始数据特征转化为新的空间特征，进而使数据特征获得了压缩处理。

　　固然，咱们也能够根据压缩矩阵和特征均值，反构获得原始数据矩阵，经过这样的方式能够用于调试和验证。

　　下图是经过matplotlib将原始数据点（三角形点）和第一主成分点（圆形点）绘制出来的结果。显然，第一主成分点占据着数据最重要的信息。

import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
fig=plt.figure()
ax=fig.add_subplot(lll)
#三角形表示原始数据点
ax.scatter(dataMat[:,0].flatten().A[0],dataMat[:,1].flatten().A[0],\
                    marker='^',s=90)
#圆形点表示第一主成分点，点颜色为红色
ax.scatter(reconMat[:,0].flatten().A[0],reconMat[:,1].flatten().A[0]\, marker='o',s=90,c='red')                

三，示例：PCA对半导体数据进行降维

　　咱们知道，像集成电路这样的半导体，成本很是昂贵。若是能在制造过程当中尽早和尽快地检测出是否出现瑕疵，将可能为企业节省大量的成本和时间。那么，咱们在面对大规模和高维度数据集时，显然计算损耗会很大，无疑会很是耗时。因此，若是利用PCA等降维技术将高维的数据特征进行降维处理，保留那些最重要的数据特征，舍弃那些能够忽略的特征，将大大加快咱们的数据处理速度和计算损耗，为企业节省不小的时间和成本。

1 数据缺失值的问题

　　显然，数据集中可能会包含不少缺失值，这些缺失值是以NaN进行标识的。那么如何对待这些缺失值呢？若是存在大量的样本存在缺失值，显然选择将这些有缺失值得样本丢弃不可取；此外，因为并不知道这些值的意义，选择将缺失值替换为0也不是一个很好的决定。因此，这里咱们选择将数据集中的特征缺失值，用数据集中该维度全部非NaN特征的均值进行替换。相比之下，采用均值替换的方法在这里是一个相对较好的选择。

#缺失值处理函数
def replaceNaNWithMean():
    #解析数据
    datMat=loadDataSet('secom.data',' ')
   #获取特征维度     
    numFeat=shape(datMat)[1]
    #遍历数据集每个维度
    for i in range(numFeat):
        #利用该维度全部非NaN特征求取均值
        meanVal=mean(datMat[nonzero(~isnan(datMat[:,i].A))[0],i])
        #将该维度中全部NaN特征所有用均值替换
        datMat[nonzero(isnan(datMat[:,i].A))[0],i]=meanVal
return datMat

　　这样，咱们就去除了全部NaN特征，接下来就能够对数据集利用PCA算法进行降维处理了。

2 PCA降维

　　那么咱们若是肯定须要保留哪些重要特征呢？PCA函数能够给出数据所包含的信息量，而后经过定量的计算数据中所包含的信息决定出保留特征的比例。下面是具体代码：

dataMat=pca.replaceNanWithMean()
meanVals=mean(dataMat,axis=0)
meanRemoved=dataMat-meanVals
conMat=cov(meanRemoved,rowvar=0)
eigVals,eigVects=linalg.eig(mat(covMat))

　　从上面的特征值结果，咱们能够看到以下几个重要信息：

（1）里面有不少值都是0，这意味着这些特征都是其余特征的副本，均可以经过其余特征来表示，其自己没有提供额外的信息。

（2）能够看到最前面的15个特征值得数量级都大于10⁵，然后面的特征值都变得很是小。这代表，全部特征中只有部分特征是重要特征。

　　下图示出了数据集前20个主成分占总方差的百分比：

　　能够看出，数据的绝大部分方差都包含在前面的几个主成分中，舍弃后面的主成分并不会损失太多的信息。若是只保留前面几个最重要的主成分，那么在保留了绝大部分信息的基础上，能够将数据集特征压缩到一个很是低的程度，显然大大提升了计算效率。

　　下表是数据集前20个主成分所占的总方差百分比，以及累计方差百分比：

　　由上表能够看出，前六个主成分覆盖了数据96.8%的方差，前二十个主成分覆盖了99.3%的方差。这代表，经过特征值分析，咱们能够肯定出须要保留的主成分及其个数，在数据集总体信息（总方差）损失很小的状况下，咱们能够实现数据的大幅度降维。

　　一旦，经过特征值分析知道了须要保留的主成分个数，那么咱们就能够经过pca函数，设定合适的N值，使得函数最终将数据特征下降到最佳的维度。

四，总结

（1）降维是一种数据集预处理技术，每每在数据应用在其余算法以前使用，它能够去除掉数据的一些冗余信息和噪声，使数据变得更加简单高效，提升其余机器学习任务的计算效率。

（2）pca能够从数据中识别主要特征，经过将数据坐标轴旋转到数据角度上那些最重要的方向（方差最大）；而后经过特征值分析，肯定出须要保留的主成分个数，舍弃其余主成分，从而实现数据的降维。