堆与堆排序

二叉堆的定义

二叉堆是彻底二叉树或者是近似彻底二叉树。

二叉堆知足二个特性：

1．父结点的键值老是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每一个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值老是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值老是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展现一个最小堆：

因为其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，通常将二叉堆就简称为堆。

堆的存储

通常都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

堆的操做——插入删除

下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的创建插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。

每次插入都是将新数据放在数组最后。能够发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，如今的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就相似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，对照《白话经典算法系列之二 直接插入排序的三种实现》不难写出插入一个新数据时堆的

堆的删除

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建 堆，实际的操做是将最后一个数据的值赋给根结点，而后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，若是父结点比这个最小的 子结点还小说明不须要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。至关于从根结点将一个数据的“下沉”过程。

堆化数组

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操做。要一个一个的从数组中取出数据来创建堆吧，不用！先看一个数组，以下图：

很 明显，对叶子结点来讲，能够认为它已是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A[4]=50开始向下调整就能够了。而后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别做一次向下调整操做就能够了。下图展现了这些步骤：

至此，堆的操做就所有完成了(注1)，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。

堆排序

首先能够看到堆建好以后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操做。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由 于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]从新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]从新恢复堆，重复这样的操做直到A[0]与A[1]交换。因为每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操做完成后整个数组就有序了。有点相似于直接选择排序。

注意使用最小堆排序后是递减数组，要获得递增数组，可使用最大堆。

由 于每次从新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次从新恢复堆操做，再加上前面创建堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操做时间相加仍是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。STL也实现了堆的相关函数，能够参阅《STL系列之四 heap 堆》。

 

package sample;

public class HeapSort {

    // 新加入i结点 其父结点为(i - 1) / 2
    void MinHeapFixup(int a[], int i) {
        int j, temp;

        temp = a[i];
        j = (i - 1) / 2; // 父结点
        while (j >= 0 && i != 0) {
            if (a[j] <= temp)
                break;

            a[i] = a[j]; // 把较大的子结点往下移动,替换它的子结点
            i = j;
            j = (i - 1) / 2;
        }
        a[i] = temp;
    }

    // 在最小堆中加入新的数据nNum
    void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum) {
        a[n] = nNum;
        MinHeapFixup(a, n);
    }

    // 从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2
    void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n) {
        int j, temp;

        temp = a[i];
        j = 2 * i + 1;
        while (j < n) {
            if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) // 在左右孩子中找最小的
                j++;

            if (a[j] >= temp)
                break;

            a[i] = a[j]; // 把较小的子结点往上移动,替换它的父结点
            i = j;
            j = 2 * i + 1;
        }
        a[i] = temp;
    }

    // 在最小堆中删除数
    void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n) {
        int temp;
        temp = a[0];
        a[0] = a[n - 1];
        a[n - 1] = temp;
        MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);
    }

    // 创建最小堆
    void MakeMinHeap(int a[], int n) {
        for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
            MinHeapFixdown(a, i, n);
    }

    void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n) {
        for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
            int temp;
            temp = a[i];
            a[i] = a[0];
            a[0] = temp;
            MinHeapFixdown(a, 0, i);
        }
    }

}