用实例给新手讲解RSA加密算法

图为 RSA公开密钥算法的发明人,从左到右Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman. 照片摄于1978年

　　 RSA加密算法是最经常使用的非对称加密算法，CFCA在证书服务中离不了它。可是有很多新来的同事对它不太了解，刚好看到一本书中做者用实例对它进行了简化而生动的描述，使得高深的数学理论可以被容易地理解。咱们通过整理和改写特别推荐给你们阅读，但愿可以对时间紧张可是又想了解它的同事有所帮助。
　 　RSA是第一个比较完善的公开密钥算法，它既能用于加密，也能用于数字签名。RSA以它的三个发明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字首字母命名，这个算法经受住了多年深刻的密码分析，虽然密码分析者既不能证实也不可否定RSA的安全性，但这偏偏说明该算法有必定的可信性，目前它已经成为最流行的公开密钥算法。
　　RSA的安全基于大数分解的难度。其公钥和私钥是一对大素数（100到200位十进制数或更大）的函数。从一个公钥和密文恢复出明文的难度，等价于分解两个大素数之积（这是公认的数学难题）。 
　　RSA的公钥、私钥的组成，以及加密、解密的公式可见于下表：


　　可能各位同事很久没有接触数学了，看了这些公式难免一头雾水。别急，在没有正式讲解RSA加密算法之前，让咱们先复习一下数学上的几个基本概念，它们在后面的介绍中要用到：

1、 什么是“素数”？
　　素数是这样的整数，它除了能表示为它本身和1的乘积之外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，15＝3＊5，因此15不是素数；又如，12＝6＊2＝4＊3，因此12也不是素数。另外一方面，13除了等于13＊1之外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，因此13是一个素数。素数也称为“质数”。

2、什么是“互质数”（或“互素数”）？
　　小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫作互质数。”这里所说的“两个数”是指天然数。
　　判别方法主要有如下几种（不限于此）：
（1）两个质数必定是互质数。例如，2与七、13与19。
（2）一个质数若是不能整除另外一个合数，这两个数为互质数。例如，3与十、5与 26。
（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个天然数在一块儿都是互质数。如1和9908。
（4）相邻的两个天然数是互质数。如 15与 16。
（5）相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
（6）大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
（7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7和 16。
（8）两个数都是合数（二数差又较大），小数全部的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如357与715，357=3×7×17，而三、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。等等。

3、什么是模指数运算？ 
　　指数运算谁都懂，没必要说了，先说说模运算。模运算是整数运算，有一个整数m，以n为模作模运算，即m mod n。怎样作呢？让m去被n整除，只取所得的余数做为结果，就叫作模运算。例如，10 mod 3=1；26 mod 6=2；28 mod 2 =0等等。 
　　模指数运算就是先作指数运算，取其结果再作模运算。如
　　好，如今开始正式讲解RSA加密算法。
算法描述：
（1）选择一对不一样的、足够大的素数p，q。
（2）计算n=pq。
（3）计算f(n)=(p-1)(q-1)，同时对p, q严加保密，不让任何人知道。
（4）找一个与f(n)互质的数e，且1<e<f(n)。
（5）计算d，使得de≡1 mod f(n)。这个公式也能够表达为d ≡e-1 mod f(n)
这里要解释一下，≡是数论中表示同余的符号。公式中，≡符号的左边必须和符号右边同余，也就是两边模运算结果相同。显而易见，无论f(n)取什么值，符号右边1 mod f(n)的结果都等于1；符号的左边d与e的乘积作模运算后的结果也必须等于1。这就须要计算出d的值，让这个同余等式可以成立。
（6）公钥KU=(e,n)，私钥KR=(d,n)。
（7）加密时，先将明文变换成0至n-1的一个整数M。若明文较长，可先分割成适当的组，而后再进行交换。设密文为C，则加密过程为：。
（8）解密过程为：。 

实例描述：
　　在这篇科普小文章里，不可能对RSA算法的正确性做严格的数学证实，但咱们能够经过一个简单的例子来理解RSA的工做原理。为了便于计算。在如下实例中只选取小数值的素数p,q,以及e，假设用户A须要将明文“key”经过RSA加密后传递给用户B，过程以下：
（1）设计公私密钥(e,n)和(d,n)。
令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取e=3，（3与20互质）则e×d≡1 mod f(n)，即3×d≡1 mod 20。
d怎样取值呢？能够用试算的办法来寻找。试算结果见下表：

　　经过试算咱们找到，当d=7时，e×d≡1 mod f(n)同余等式成立。所以，可令d=7。从而咱们能够设计出一对公私密钥，加密密钥（公钥）为：KU =(e,n)=(3,33)，解密密钥（私钥）为：KR =(d,n)=(7,33)。
（2）英文数字化。
　　将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值，即：

　　则获得分组后的key的明文信息为：11，05，25。
（3）明文加密 
　　用户加密密钥(3,33) 将数字化明文分组信息加密成密文。由C≡Me(mod n)得：

　　所以，获得相应的密文信息为：11，31，16。
（4）密文解密。
　　用户B收到密文，若将其解密，只须要计算，即：

　　用户B获得明文信息为：11，05，25。根据上面的编码表将其转换为英文，咱们又获得了恢复后的原文“key”。 
　 　你看，它的原理就能够这么简单地解释！
　 　固然，实际运用要比这复杂得多，因为RSA算法的公钥私钥的长度（模长度）要到1024位甚至2048位才能保证安全，所以，p、q、e的选取、公钥私钥的生成，加密解密模指数运算都有必定的计算程序，须要仰仗计算机高速完成。

最后简单谈谈RSA的安全性

　 　首先，咱们来探讨为何RSA密码难于破解？ 
　 　在RSA密码应用中，公钥KU是被公开的，即e和n的数值能够被第三方窃听者获得。破解RSA密码的问题就是从已知的e和n的数值（n等于pq），想法求出d的数值，这样就能够获得私钥来破解密文。从上文中的公式：d ≡e-1 (mod((p-1)(q-1)))或de≡1 (mod((p-1)(q-1))) 咱们能够看出。密码破解的实质问题是：从Pq的数值，去求出(p-1)和(q-1)。换句话说，只要求出p和q的值，咱们就能求出d的值而获得私钥。
　 　当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。好比当pq大到1024位时，迄今为止尚未人可以利用任何计算工具去完成分解因子的任务。所以，RSA从提出到如今已近二十年，经历了各类攻击的考验，逐渐为人们接受，广泛认为是目前最优秀的公钥方案之一。
　　然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并无从理论上证实破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是没法从理论上把握它的保密性能如何。
　　此外，RSA的缺点还有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，于是难以作到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤为是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增长，不利于数据格式的标准化。所以，使用RSA只能加密少许数据，大量的数据加密还要靠对称密码算法。

 

原文： http://bank.hexun.com/2009-06-24/118958531.html