2021寒假每日一题《整数集合划分》

整数集合划分

题目来源：PAT甲级真题1113
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题目描述

给定一个包含 \(N\) 个正整数的集合，请你将它划分为两个集合 \(A_1\) 和 \(A_2\)，其中 \(A_1\) 包含 \(n_1\) 个元素，\(A_2\) 包含 \(n_2\) 个元素。
集合中能够包含相同元素。
用 \(S_1\) 表示集合 \(A_1\) 内全部元素之和，\(S_2\) 表示集合 \(A_2\) 内全部元素之和。
请你妥善划分，使得 \(|n_1−n_2|\) 尽量小，并在此基础上 \(|S_1−S_2|\) 尽量大。

输入格式

第一行包含整数 \(N\) 。
第二行包含 \(N\) 个正整数。

输出格式

在一行中输出 \(|n_1−n_2|\) 和 \(|S_1−S_2|\) ，两数之间空格隔开。

数据范围

\(2 ≤ N ≤ 10^5\) ,
保证集合中各元素以及全部元素之和小于 \(2^{31}\) 。

样例输入1

10
23 8 10 99 46 2333 46 1 666 555

样例输出1

0 3611

样例输入2

13
110 79 218 69 3721 100 29 135 2 6 13 5188 85

样例输出2

1 9359

解题思路：贪心

题目让两个集合的元素 个数之差最小 ， 数值总和之差最大 ，因此尽可能均分个数。
元素个数为偶数的时候，分开后，两个集合元素个数同样，差值为 \(0\) 。
元素个数为奇数的时候，分开后，元素个数差值为 \(1\) 。
而后要求子集合差值尽可能大，那么一个集合里放小的元素，一个集合里放大的元素就好了。
\(N\) 为奇数的时候，不能均分，就在大元素的集合里，多放一个元素。
具体划分两个集合的思路以下：

• 将数组排序后，将 \([0,n/2)\) , \([n/2,n]\) 分别做为 \(A_1\) , \(A_2\) 两个集合。
• 数值总和之差 = 全部元素总和 - 两倍的 \([0,n/2)\) 区间的总和。

读入给定的数组，边读入边计算全部元素的总和。
而后减去两倍的 \([0,n/2)\) 区间的总和，即获得最大的数值总和之差。
个数之差根据输入的 \(N\) 来判断，N为偶数则个数之差最小为0，不然为1。

解题代码-Java

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        int n = input.nextInt();
        int[] a = new int[n];
        long s = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            a[i] = input.nextInt();
            s += a[i];
        }
        input.close();

        Arrays.sort(a);

        for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
            s -= 2L * a[i];
        }

        System.out.printf("%d %d\n", n % 2, s);
    }
}