【XSY3413】Lambda - 造计算机初步——邱奇-图灵论题与lambda演算

题意：

关于邱奇-图灵论题的一点思考

这道题起源于计算机科学史上一个很是著名的问题——邱奇-图灵论题，这个论题是可计算性理论的基石，关于它的思考与证实几乎贯穿了整个计算机科学史，涵盖了数学、算法理论、数学逻辑学甚至哲学上的广大深入内容，直至今日还不断有讨论的声音。今天由于这题去详细了解了一下邱奇-图灵论题，切实的感受到了这个问题的伟大和影响深远之处。

邱奇-图灵论题的观点代表，任何算法均可以由一台图灵机来执行，即以任何编程语言编写的算法均可以被翻译（编译？）成一台图灵机，反之亦然，所以任何一种编程语言都足够用来有效的表达任何算法。

邱奇-图灵论题最先来源于阿兰·图灵和阿隆佐·邱奇关于断定性问题可否被解决的证实，当时邱奇首先利用递归函数和“可定义”函数来形式化地描述了有效可计算性，紧接着图灵证实了“断定性问题”是不可解的（不可解问题最著名的一个例子是停机问题，详解我或许会写一篇博客？），根据邱奇对有效可计算性的描述，图灵又证实了图灵机所描述的是同一集合的函数（即任意语言集合）。

对这一论题的观点进行延伸，能够得出一个结论：数学和逻辑学中的全部有效运算方法都可以用一台图灵机来表示和演算，一般这些方法须要知足：

1.由有限多的精确指令组成，每一条指令均可以由有限多的符号来描述；

2.每一个方法都会在有限步骤内产生结果；（关于这一条的争议貌似跟NP完备性问题有关……请不要问我）

3.该方法的执行不须要人类的智慧理解，即只须要按照给出的指令计算便可得出结果；

其中一个范例能够参考自递归的欧几里得算法。

在图灵以后，陆续有许多科学家也提出了不一样的描述有效计算的机制，但全部这些体系都已经被证实是图灵彻底的，即在计算和证实上和图灵机是几乎等价的，因此广泛认为邱奇-图灵论题是正确的。可是一个严重的漏洞是该论题并无被严谨证实，只是没法找到一个图灵机不容许的有效算法，却没能证实不存在这样的算法。所以能够说“有效可计算性”这个词的定义也是不严谨的，而如今的数学家们大都对这个问题避而不谈，改用另外一个定义良好的词——“图灵可计算性”来描述可计算性。笔者认为这样在问题定义还不清晰的基础上去频繁使用是很是“危险”的，由于定义的一点破绽可能会致使整个计算机科学体系的崩塌（参见第二，第三次数学危机）。

在哲学方面，邱奇-图灵论题的意义很是深入，涉及到宇宙的本质和超计算的可能性。

1.广义的邱奇-图灵论题认为宇宙是一台图灵机，能够存储无限精度的实数，若是这样定义，则宇宙中不存在实数，只存在可计算数；由上，若是该定义为真，则在物理上对非递归函数的计算是不可能的；

2.宇宙不是一台图灵机，则物理定律都不是图灵可计算的，但在此基础上创建“超计算机”并非不可能的；

3.宇宙是一台（量子）超计算机，则能够经过物理设备来控制这一特征来计算非递归函数，即量子力学中的事件都是图灵可计算的，由量子比特构成的系统都是图灵完备的，甚至有人认为人的心智就是量子演算的结果；

抛去哲学上的问题不谈，笔者认为邱奇-图灵论题最伟大的地方在于辨清了计算，图灵机和编程语言的关系，把计算机科学和其它科学领域划清了界限，对“算法”自己给出了精确的定义，以及对于“有效运算”和可计算性的探讨，使人对“计算机”这一律念有更充分的理解。能够说整个计算机科学的理论根基都是由这一论题发展起来的，如今咱们写的每一行代码与其都有不可或缺的联系。

（部分摘自百度百科）

一些资料：

https://www.zhihu.com/question/21579465/answer/106995708

https://wenku.baidu.com/view/b1bb8eade009581b6ad9eb41.html

http://www.javashuo.com/article/p-xlxsjwhy-bx.html

题解：

其实这题跟邱奇图灵论题并无什么关系……就当我上面那么长一段在胡扯吧

其实$\lambda-$演算能够当作是如今全部编程语言的前身，甚至早于汇编语言和01机器码；

以我的的理解，$\lambda-$演算中的全部变量都既能够是一个值也能够是一个函数（表达）式，而全部函数式和变量加起来就是组成了表达式，广义的来讲，如今python和C++中的lambda隐式表达式都是$\lambda-$演算中的表达式的延伸。

那么题目中的三种表达式形式分别能够理解为：

1.$a$：表示一个变量的值或其表明的表达式；

2.$\lambda x.N$：表示（定义或调用）一个函数$f(x)$，返回将$x=(x的实际值)$代入表达式N（实际上也能够是一个单独的变量，只不过调用了它所表明的表达式）的结果；从另外一个角度来讲，形如$\lambda x.\lambda y.N$的表达式能够看做接受两个参数$x,y$的函数；

3.$F~A$：将$A$做为$F$的参数代入求值，即调用函数$f(A)$。

下面的一大段例子能够省略，只须要知道$\lambda-$演算是默认左结合的，即在不加括号的状况下会按照从左到右的顺序依次将右侧的表达式代入左侧求值，且参数不一样而形式相同的函数被认为是等价的（同名的）。

测试点1：

$true=\lambda x.\lambda y.x$

$false=\lambda x.\lambda y.y$

由题面可知$f x=N\Leftrightarrow f=\lambda x.N$，稍微推一下便可，这是整个$lambda-$演算系统中最重要的定义。

测试点2：

很是抱歉，如下都鸽了

测试点3：

测试点4：

测试点5：

测试点6：

测试点7：

测试点8：

测试点9：

测试点10：

测试点11：