【科技】浅谈圆的反演

一时兴起，就有了这篇博客。本人也学识浅薄，姑且讲一下我对于圆反演的一些皮毛之见。

首先咱们要明白反演是什么：

反演是一种基本的几何变换。给定一个平面上的一个反演中心$O$和一个常数$k$，对于任意一个点$A(A \neq O)$，咱们能够找到一个在直线$OA$上的点$A'$，使得线段$OA,OA'$的有向长度的乘积为$k$，那$A'$就是$A$关于$O$的反演点，能够证实这样的$A'$是惟一的。咱们称$A->A'$的这种变换为反演，咱们也能够把它当作一种映射，并且是双射。

点有关于圆的反演：

给定一个平面上的一个圆，其圆心为$O$，半径为$r_0$，对于任意一个点$A(A \neq O)$，咱们一样能够找到一个在直线$OA$上的点$A'$，使得线段$OA, OA'$的有向长度之积为常数${r_0}^2$，那$A'$就是$A$关于圆$O$的反演点，一样这样的$A'$是惟一的。

接下来咱们讨论的问题都将围绕一个反演中心展开，因此咱们用反演变换$f$来表示关于圆$O$的反演，这里咱们有$f(A) = A'$。

直线关于圆的反演：

直线$A$关于圆$O$的反演$A'$就是$\{ f(P) | P \in A \}$，通俗地讲就是把直线上的点都作反演后点的集合，很明显这也是一个双射。

咱们首先说一下结论：

1. 当直线$A$过点$O$时，$A' = A$。
2. 当直线$A$不过点$O$时，$A'$是一个圆，且$A'$始终过点$O$。当$A$与圆$O$相交时，$A'$与圆$O$相交；当$A$与圆$O$相切时，$A'$内切与圆$O$；当$A$与圆$O$相离时，$A'$内含与圆$O$。

第一句话比较简单，不作累述，接下来主要证实第二句话，并会给出$A'$的具体的位置。（不会画图，你们本身脑补）

方便起见，咱们假设圆$O$是一个单位圆（这个并无关系，图是能够缩放的），直线$A$为$x = a(a \neq 0)$。

设$A$上任意一个的点$P(a, y_1)$，$dis(P, O) = \sqrt{ a^2 + {y_1}^2 }$，由类似得$P' = f(P) = ( \frac{a}{a^2 + {y_1}^2} , \frac{y_1}{a^2 + {y_1}^2} )$。

这里点$P'$的轨迹中只有$y_1$一个变量。咱们要证实$P'$的轨迹是一个圆，即咱们想要获得$P'(x,y)$中$x,y$的关系式。

根据$P'$的坐标有：$(1) x = \frac{a}{a^2 + {y_1}^2}  \qquad (2) y_1 x = a y $

联立$(1)(2)$消掉$y_1$后便可得：$ x^2 - \frac{1}{a}x + y^2 = 0 $

能够写成圆的标准方程：$ (x - \frac{1}{2a})^2 + y^2 = (\frac{1}{2a})^2 $

 因此能够知道$A'$的圆心位于$(\frac{1}{2a}, 0)$，半径为$\frac{1}{2a}$，因此说$A'$始终过点$O$。很容易看出，当$a = 1$时，直线$A$与圆$O$相切，此时圆$A'$也内切与圆$O$；其余两种状况也能够获得证实。

圆有关于圆的反演：

圆$A$关于圆$O$的反演也定义为$\{ f(P) | P \in A \}$。

咱们先阐明结论：

1. 当圆$A$过点$O$时，$A'$会退化成一条直线，能够看作上一部分直线关于圆的反演的逆变换。
2. 当圆$A$不过点$O$时，$A'$是一个圆。当$A$与圆$O$相交时，$A'$也与圆$O$相交；当$A$与圆$O$外（内）切时，$A'$与圆$O$内（外）切；当$A$与圆$O$相离（内含）时，$A'$与圆$O$内含（相离）。

第一句话咱们已经讨论过了就不作累述。咱们仿照上一部分，对此第二句话进行简要证实。

一样假设圆$O$是一个单位圆，圆$A$的圆心在$(a, 0)$，半径是$r(r \neq a)$。

设$A$上的任意一点$P(x_1, y_1)$，故有方程：$(1) (x_1 - a)^2 + {y_1}^2 = r^2 $

一样能够获得$P' = f(P) = (\frac{x_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 }, \frac{y_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 } )$

根据$P'$坐标获得方程：$ (2) x = \frac{x_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 } \qquad (3) y_1 x = x_1 x $

联立方程$(1)(2)(3)$消去$x_1,y_1$能够获得一个圆的标准方程：$(x + \frac{a}{r^2 - a^2})^2 + y^2 = (\frac{r}{r^2 - a^2})^2$

显然$A'$是一个圆，圆心和半径都能知道了。读者们能够自行验证是否知足结论中第二句话所述的三种状况。

圆反演的性质与应用：

有几个须要知道的事实：

1. 两对不共线的互反点四点共圆。（证实能够先获得类似，再获得对角互补）
2. 两个外切的圆在分别反演后仍外切（若是切点刚好是反演中心，则反演后为两平行线），对于内切、相交、相离、内含的状况也是同样。这个一样适用于圆和直线的关系上。（由于原有的交点在反演后还是交点，因为反演是可逆的，不会产生额外的交点）

关于圆的反演变换是几何中一个经常使用技巧，其一般能够把圆上的问题转化成直线上的问题，在多圆问题中尤显其强大之处。

$\star$ 一道例题。给定两个圆$A,B$和一个不在$A,B$上的点$P$，求出全部过点$P$的圆，知足与$A,B$分别相切。

直接作好像没什么办法，咱们考虑利用反演变换。以$P$为圆心任意半径作一个圆，而后分别作出$A,B$关于圆$P$的反演$A',B'$，能够获得$A',B'$的公切线，把公切线反演回去就是所求的圆。作法很简单，缘由也很简单，因为要求的是过点$P$的圆，至关因而要求反演后的一条直线，而且这条直线要与反演后的$A,B$相切。

 

参考资料：

• 知乎zdr0的专栏  https://zhuanlan.zhihu.com/p/55834403