[学习笔记] 行列式与矩阵树定理

[学习笔记] 行列式与矩阵树定理

行列式

线性代数真是好东西

定义

设 $n$ 阶方阵 $ A$ 的行列式为 $\det(A)$, 则: $$ \det(A)=\sum_{p\in P} ( -1)^{\delta(p)} \prod_{k=1}^nA_{k,p_k} $$ 其中 $P$ 为全部 $n$ 阶排列组成的集合, $\delta(p)$ 表示排列 $p$ 中的逆序对个数.

本质上是 $n$ 维欧氏空间应用线性变换 $A$ 后 $n$ 维超体积产生的变化系数.

性质

只说几个比较显然比较经常使用的好了...

1. $|A|=|A^T|$. (定义式并无行和列的区别)

2. $|AB|=|A|\times|B|$. (从本质理解. 矩阵乘法至关于连续应用两个线性变换, 体积变化应该相乘.)

3. 行列式某一行/列都乘 $k$, 行列式值变为原来 $k$ 倍. (定义中的和式的每一项都刚好包含某一行中的一项, 因而恰好每一项都多了个 $k$.) $$ D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \{\color {blue}k}a_{i1}&{\color {blue}k}a_{i2}&\dots &{\color {blue}k}a_{in}\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k}D_{1} $$

4. 行列式某两行/列线性相关, 则行列式值为 $0$. (从行列式的本质理解. 非满秩的矩阵会降维, 因而体积就被压没了.) $$ {\begin{vmatrix}{\color {blue}2}&{\color {blue}2}&\dots &{\color {blue}2}\{\color {blue}8}&{\color {blue}8}&\dots &{\color {blue}8}\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}=0 $$

5. 交换行列式某两行/列, 行列式值变号. (定义式中的符号和逆序对有关.) $$ {\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \{\color {blue}{a_{i1}}}&{\color {blue}{a_{i2}}}&\dots &{\color {blue}{a_{in}}}\{\color {green}{a_{j1}}}&{\color {green}{a_{j2}}}&\dots &{\color {green}{a_{jn}}}\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \{\color {green}{a_{j1}}}&{\color {green}{a_{j2}}}&\dots &{\color {green}{a_{jn}}}\{\color {blue}{a_{i1}}}&{\color {blue}{a_{i2}}}&\dots &{\color {blue}{a_{in}}}\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\end{vmatrix}} $$

6. 在行列式中, 某一行/列的每一个元素是两数之和, 则此行列式可拆分为两个相加的行列式. (拆定义式, 把被更改的那一行中加起来的两个数拆开分配到两个和式中.) $$ {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \{\color {blue}{a_{i1}}}+{\color {green}{b_{i1}}}&{\color {blue}{a_{i2}}}+{\color {green}{b_{i2}}}&\dots &{\color {blue}{a_{in}}}+{\color {green}{b_{in}}}\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \{\color {blue}{a_{i1}}}&{\color {blue}{a_{i2}}}&\dots &{\color {blue}{a_{in}}}\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \{\color {green}{b_{i1}}}&{\color {green}{b_{i2}}}&\dots &{\color {green}{b_{in}}}\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}} $$

7. 结合性质 4/6 的推论: 某一行/列对位加上另外一行/列的 $k$ 倍, 行列式值不变. (先用性质 6 拆成两个行列式, 而后第二个行列式显然不满秩因此值为 0.) $$ {\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\a_{j1}&a_{j2}&\dots &a_{jn}\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\a_{j1}{\color {blue}{+ka_{i1}}}&a_{j2}{\color {blue}{+ka_{i2}}}&\dots &a_{jn}{\color {blue}{+ka_{in}}}\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\end{vmatrix}} $$

8. 上下三角矩阵/对角矩阵的行列式为对角线上元素之积. (显然除了对角线上的状况其余的排列 $p$ 都会形成 $A_{i,p_i}$ 命中至少一个0.) $$ {\begin{vmatrix}{\color {blue}{a_{11}}}&0&\dots &0\0&{\color {blue}{a_{22}}}&\dots &0\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \0&0&\dots &\color {blue}{a_{nn}}\end{vmatrix}}=\prod_{k=1}^n\color {blue}{a_{kk}} $$

计算

按照定义算须要 $O(n\times n!)$ 次乘法. 没有应用价值. 考虑行列式的性质.

利用上面性质 5/7 便可计算对行列式应用初等行变换后对原行列式值产生的影响.

再加上性质 8, 咱们只要用初等行变换把行列式消成三角阵就能够算了. 使用高斯消元便可解决. 时间复杂度 $O(n^3)$.

矩阵树定理

又称 Kirchhoff's Theorem.

FAQ: 为啥搜索 Kirchhoff 只能找到一个物理学家?

A: 没错这个定理就是物理学家 Gustav R. Kirchhhoff 研究电路的时候顺手证的.

内容

一个 $n$ 个点的无向图 $G$ 的生成树个数即为它的 Laplacian 矩阵的任一余子式的行列式值.

其中 Laplacian 矩阵在 $A_{i,i}$ 处为点 $i$ 的度数, $A_{i,j}$ 处若点 $i$ 和 $j$ 邻接则值为 $-1$, 不然为 $0$.

或者说 Laplacian 矩阵等于度数矩阵减去邻接矩阵.

这个定理也适用于多重图(非简单图), 只要把全部自环都丢掉而后把 $-1$ 改成 $i$ 和 $j$ 之间边的个数的相反数就行了.

因而直接用就完了qaq...