红黑树详解

1.为何须要红黑树？

对于二叉搜索树，若是插入的数据是随机的，那么它就是接近平衡的二叉树，平衡的二叉树，它的操做效率（查询，插入，删除）效率较高，时间复杂度是O（logN）。可是可能会出现一种极端的状况，那就是插入的数据是有序的（递增或者递减），那么全部的节点都会在根节点的右侧或左侧，此时，二叉搜索树就变为了一个链表，它的操做效率就下降了，时间复杂度为O(N)，因此能够认为二叉搜索树的时间复杂度介于O（logN）和O(N)之间，视状况而定。那么为了应对这种极端状况，红黑树就出现了，它是具有了某些特性的二叉搜索树，能解决非平衡树问题，红黑树是一种接近平衡的二叉树。

2.红黑树的特性有哪些？

首先，红黑树是一个二叉搜索树，它同时知足如下特性：

(1) 每一个节点要么是黑色，要么是红色

(2) 根节点是黑色

(3) 若是节点是红色的，那么它的子节点必须是黑色的（反之，不必定须要成立）

(4) 从根节点到叶节点或空子节点的每条路径，都包含相同数目的黑色节

经过看图来理解以上四个特性

 

3.红黑树的效率

红黑树的查找，插入和删除操做，时间复杂度都是O(logN)。查找操做时，它和普通的相对平衡的二叉搜索树的效率相同，都是经过相同的方式来查找的，没有用到红黑树特有的特性。但，若是插入的时候是有序数据，那么红黑树的查询效率就比二叉搜索树要高了，由于此时二叉搜索树不是平衡树，它的时间复杂度O(N)。插入和删除操做时，因为红黑树的每次操做平均要旋转一次和变换颜色，因此它比普通的二叉搜索树效率要低一点，不过期间复杂度仍然是O(logN)。总之，红黑树的优势就是对有序数据的查询操做不会慢到O(logN)的时间复杂度。

4.对旋转的理解

在红黑树中，插入或者删除数据时，为了保持红黑树的那五个特性，须要进行旋转和变换颜色的操做。旋转必需要一次性作两件事情：

* 使一些节点上升，一些节点降低，帮助树平衡

* 保证不破坏二叉搜索树的特征

旋转分为左旋转和右旋转，那么咱们就看下左旋转和右旋转是怎么回事。

4.1 左旋转

此处，以50为支点进行逆时针旋转，而后75成为了顶点，50成为了75的左子节点，65成为了50的右子节点，这个操做就是左旋转。

4.2 右旋转

此处，以75为支点顺时针旋转，而后50成为了顶点，75成为了50的右子节点，65成为了75的左子节点，这就是右旋转操做。

5.插入操做

在介绍插入操做前，先约定一下各个节点的名称。看图：

在红黑树中，插入一个节点，都执行了哪些操做呢？

首先，查找要插入节点的位置，而后给予颜色（红色或者黑色），可是为了保证红黑树的特性，须要进行旋转或者更改颜色，须要注意的是，在旋转前和旋转后，红黑树一直都是一个二叉搜索树，二叉搜索树的特征从未改变过。

这里，对于新插入的节点，咱们给予的颜色是红色，是由于为了和红黑树的第（4）条特性不冲突： 从根节点到叶节点或空子节点的每条路径，都包含相同数目的黑色节点。这样就少了不少操做。而后看其它几个特性

* 对于(1)特性：每一个节点要么是黑色，要么是红色，不冲突。

* 对于(2)特性：根节点是黑色，若是插入的节点不是根节点，也不冲突。若是是根节点，那么直接给予颜色黑色

那么，惟一须要知足的特性就是（3）：若是节点是红色的，那么它的子节点必须是黑色的。这里，当咱们给予新插入的节点颜色是红色时，须要根据父节点的不一样状况作不一样的处理，以知足这个特性。有如下几种状况：

根据代码来理解这几种状况：

/* 红黑树修正程序 */
void insert_repair_tree(struct node* n) {
 //状况一：节点N的父节点为null，说明该节点是根节点 if (parent(n) == NULL) {
  insert_case1(n);
 } else if (parent(n)->color == BLACK) {
  //状况二：父节点是黑色
  insert_case2(n);
 } else if (uncle(n)->color == RED) {
  //状况三： 父节点和叔叔节点都是红色
  insert_case3(n);
 } else {
  //状况四:父节点是红色，叔叔节点是黑色
  insert_case4(n);
 }
}

5.1：若是新插入节点是根节点，那么给予该节点颜色是黑色

看代码：

 

/* 状况一：插入的节点是根节点 */
void insert_case1(struct node* n)
{
 if (parent(n) == NULL)
  n->color = BLACK;
}

 

5.2：若是新插入节点的父节点是黑色，那么给予该节点是红色不会对该红黑树有任何影响，因此不作任何处理。

看代码：

/* 状况二：父节点是黑色 */
void insert_case2(struct node* n)
{
  return; /* Do nothing since tree is still valid */
}

5.3：若是新插入节点的父节点是红色，同时叔叔节点也是红色

       须要将父亲节点和叔叔节点从新绘制为黑色，祖父节点绘制为红色。可是，若是此处祖父节点为根节点，那么须要调用红黑树修正程序，将祖父节点绘制为黑色。

看代码：发现看代码比看图要更容易理解，而且逻辑也更严谨，对于父亲节点和叔叔节点都是红色时，发现其余文章都没有考虑祖父节点为根节点的状况，这里图就省了。

/* 状况三：父节点和叔叔节点都是红色 */
void insert_case3(struct node* n)
{
 parent(n)->color = BLACK;
 uncle(n)->color = BLACK;
 grandparent(n)->color = RED;
 //调用红黑树修正程序
 insert_repair_tree(grandparent(n));
}

5.4：若是新插入节点的父节点是红色，同时叔叔节点是黑色

看代码：

/* 状况四：第一步 */
void insert_case4(struct node* n)
{
 struct node* p = parent(n);
 struct node* g = grandparent(n);

 if (n == g->left->right) {
  /* 若是父节点是祖父节点的左子节点，新插入节点是父节点的右子节点，那么以父节点为支点左旋 */
  rotate_left(p);
  n = n->left;
 } else if (n == g->right->left) {
    /* 若是父节点是祖父节点的右子节点，新插入节点是父节点的左子节点，那么以父节点为支点右旋 */
  rotate_right(p);
  n = n->right; 
 }

 insert_case4step2(n);
}

/* 状况四:第二步 */
/* 在第二步时：当前节点n确定处于 祖父节点左子节点的左侧，或者祖父节点右子节点的右侧 */
void insert_case4step2(struct node* n)
{
struct node* p = parent(n);
  struct node* g = grandparent(n);

 if (n == p->left)
  /* 以祖父节点为支点进行右旋 */
  rotate_right(g);
 else
  rotate_left(g);
 p->color = BLACK;
 g->color = RED;
}

在知足父节点是红色，叔叔节点是黑色的条件下，咱们能够分如下几种状况：

状况（a）：父节点p是祖父节点g的左子节点，新插入节点n是父节点p的右子节点

处理：以父节点为支点左旋，而后以祖父节点为支点进行右旋，最后给父节点（第一次旋转后的父节点）绘制为黑色，给祖父节（第一次旋转后的祖父节点）点绘制为红色

看图：

状况（b）：父节点p是祖父节点g的右子节点，新插入节点n是父节点p的左子节点

处理：以父节点为支点进行右旋，而后以祖父为支点进行左旋，最后给父节点（第一次旋转后的父节点）绘制为黑色，给祖父节（第一次旋转后的祖父节点）点绘制为红色

看图：

状况（c）：父节点p是祖父节点g的左子节点，新插入节点n是父节点p的左子节点

处理：以祖父节点为支点进行右旋，最后给父节点绘制为黑色，给祖父节点绘制为红色，也就是直接调用第二步的方法 insert_case4step2

状况（d）:父节点p是祖父节点g的右子节点，新插入节点n是父节点p的右子节点

处理：以祖父为支点进行左旋，最后给父节点绘制为黑色，给祖父节点绘制为红色，也就是直接调用第二步的方法 insert_case4step2

 6 删除操做

对于删除操做，处理的逻辑是：根据二叉搜索树的特色找到被删除的节点，将其删除掉，而后再经过改变颜色和旋转操做保持其红黑树的特性。此处咱们统一规定被删除节点是D，真正被删除节点为RD，真正被删除节点的兄弟节点是B，真正被删除节点的父节点是P，B的两个子节点是BL和BR。删除操做有三种状况：

6.1 被删除节点为叶子节点，分为两种状况：

状况（a）：该叶子节点是红色

处理：直接删除

状况（b）：该叶子节点是黑色，

处理：删除节点，而后旋转和变换颜色。

6.2 被删除节点只有一个子节点，那么使被删除节点的父节点指向被删除节点的子节点，而后经过改变节点颜色和旋转来保持红黑树特性

6.3 被删除节点D有两个子节点，那么能够将被删除节点D的后继节点（D的右子树中的最小元素RD）的值赋值给被删除节点D，可是被删除节点D的颜色不作改变，此时删除操做就转化为了删除后继节点RD的状况了。那么删除RD的状况又分为五种：

状况（a）： RD节点是红色的

处理：若是RD节点是红色的，那么它的父节点和右子节点应该是黑色的，当删除RD节点时，直接把RD节点的父节点指向RD节点的右子节点便可。

下面四种状况RD节点都是黑色的

状况（b）：RD的兄弟节点B为红色

处理：若是B节点为红色，那么P节点和B的两个子节点都是黑色。交换B节点和P节点的颜色，而后以P节点为支点进行左旋转。这样处理后，就将状况（b）转为（c），（d），（e）中的一种。

看图：

 

 状况（c）：

 

后续更新。。。

 

 

参考资料：

模拟红黑树：https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/RedBlack.html

维基百科红黑树：https://en.wikipedia.org/wiki/Red%E2%80%93black_tree#Insertion