SVM 数学描述的推导

1. 概述

此前我们介绍了一个最优化分类算法 – logistic 回归。
Logistic 回归数学公式推导
本文中，我们再来介绍另一个最优化分类算法 – SVM。

2. SVM

SVM 是 Support Vector Machines 的缩写，一般称为“支持向量机”或“支持矢量机”。
我们有下图这些点，如何将红点和蓝点分开呢？

下面两图中的线都可以做到让区分两类点的目的：

图中 A 和 B 两条线都实现了红蓝点分类的目的，A 和 B 就称为“决策面”，显而易见，因为数据是二维的，所以决策面是一维的线，如果数据是三维的，那么决策面将会是一个二维的平面，也就是说，决策面总是数据维度数 - 1 维的，因此也叫“分隔超平面”。

那么上图中的 A 和 B 究竟哪个分类方法的效果更好呢？
目前的情况来看，分类器A和B都可以做到完全划分，其效果是相同的，但假设我们再添加一个点，这个点是否仍然可以被 A、B 正确分类呢？

A 顺利完成了对新点的划分，而 B 决策面则划分错误，这是为什么呢？
因为我们假定新的点仍然在原来类别的范围附近，那么，很容易理解，决策面离原有数据越远，则划分准确性越高。
注意观察你会发现，上图中在决策面的左右各有一条虚线，这两条虚线分别与两侧最近的样本点相交，且平行于决策面，虚线与决策面的距离就是“分类间隔”，显然每一个可能把数据集正确分开的方向都有一个最优决策面，而不同方向的最优决策面的分类间隔通常是不同的，那个具有“最大间隔”的决策面就是SVM要寻找的最优解。
而这个真正的最优解对应的两侧虚线所穿过的样本点，就是SVM中的支持样本点，称为”支持向量”。

3. SVM 的优缺点

3.1. 优点

既然我们知道了 SVM 的原理，SVM 的优点就非常明显了：

1. 错误率低
2. 计算开销不大
3. 结果容易理解
4. 可视化

3.2. 缺点

1. 对参数调节和核函数敏感
2. 原始分类器只能处理二分类问题

4. 超平面决策面方程推导

这样，我们推导出了 n 维坐标系内决策面方程，我们称之为“超平面方程”。

5. 分类间隔方程推导

根据本文开头的描述可知，分类效果最好的超平面是分类间隔 2d 最大的超平面，我们已经成功将问题推导为求解当 d 取最大值时 ω 的取值。

6. 约束条件

求解 d 取最大值时 ω 的取值存在以下两个约束条件：

1. 如何判断超平面是否将样本点正确分类
2. 如何在众多样本点中选取支持向量上的点

7. 线性 SVM 优化问题的基本描述

我们成功将求解 d 的最大值问题推导为求解 ||ω|| 最小值问题。

我们将 SVM 优化问题转化为了一个有不等式约束的优化问题，这类方法通常使用 KKT 条件求解。

8. 数学中最优化方法与求解算法

8.1. 无约束优化问题

通常使用的方法是费马大定理，即求取函数f(x)的导数，然后令其为零，可以求得候选最优值，再在候选最优值集合中取值验证从而得到最优解。

8.2. 有等式约束的优化问题

这类问题通常使用拉格朗日乘子法，把等式约束h(x)用一个系数与f(x)写为一个式子，称为拉格朗日函数，而系数则被称为拉格朗日乘子。
通过拉格朗日函数对各个变量求导，令其为零，可以求得候选值集合，然后验证求得最优值。

8.3. 有不等式约束的优化问题

这类问题的求解通常使用 KKT 条件。
把所有的等式、不等式约束与f(x)写为一个式子，也叫拉格朗日函数。
通过一些条件，可以求出最优值的必要条件，这个条件称为KKT条件。

那么如何用拉格朗日函数与 KKT 条件求解我们的目标函数呢？敬请关注下一篇文章。

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10. 参考资料

《机器学习实战》。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/24638007。
http://blog.pluskid.org/?page_id=683。
https://blog.csdn.net/c406495762/article/details/78072313。