C++动态规划实现查找最长公共子序列

问题描述：

给定两个序列X={x₁，x₂，…，x_m}和Y={y₁，y₂，…，y_n}，找出X和Y的最长公共子序列。（给定两个序列X和Y，当另外一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。）

细节须知（与以前随笔的对比）：

将由数组存储起来一并输出至文件修改成边运行边输出，增长了程序的鲁棒性。

算法原理：

a.最长公共子序列的结构

对X的全部子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而肯定它是否为X和Y的公共子序列。而且在检查过程当中记录最长的公共子序列。X的全部子序列都检查事后便可求出X和Y的最长公共子序列。X的每一个子序列相应于下标集{1,2，…，m}的一个子集。

b.子问题的递归结构

要找出X和Y的最长公共子序列，可按如下方式递归计算：当x_m=y_n时，找出X_m-1和Y_n-1的最长公共子序列，而后在其尾部加上x_m（=y_n）便可获得X和Y的最长公共子序列。当x_m≠y_n时，必须解两个子问题，即找出X_m-1和Y的一个最长公共子序列及X和Y_n-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者即为X和Y的最长公共子序列。

c.计算最优值

利用动态规划算法自底向上地计算最优值。

d.构造最长公共子序列

首先从b[m][n]开始，依其值在数组b中搜索。当b[i][j]=1时，表示X_i和Y_j的最长公共子序列

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<stack>
 4 #include<ctime>
 5 #include<iostream>
 6 #include<fstream>
 7 #include<algorithm>
 8 #include<windows.h>
 9 using namespace std;  10 LARGE_INTEGER nFreq;//LARGE_INTEGER在64位系统中是LONGLONG，在32位系统中是高低两个32位的LONG，在windows.h中经过预编译宏做定义
 11 LARGE_INTEGER nBeginTime;//记录开始时的计数器的值
 12 LARGE_INTEGER nEndTime;//记录中止时的计数器的值
 13 #define N 10000
 14 //const int SIZE_CHAR = 10000; //生成32 + 1位C Style字符串
 15 const char CCH[] = "_0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ_";  16 int dp[N][N];  17 char c;  18 int main(void)  19 {  20     //char a[N];  21     //char b[N];  22     //char a[SIZE_CHAR+2];  23     //char b[SIZE_CHAR+2];
 24  ofstream fout;  25     int m = 0,i = 0;  26     int SIZE_CHAR;  27     cout<<"Please enter the number of times you want to run the program:";        //输入程序运行次数
 28     cin>>m;  29     //int SIZE[m];
 30     double cost;  31     //double runtime[m];
 32  srand((unsigned)time(NULL));  33     fout.open("data.txt",ios::app);  34     if(!fout){  35         cerr<<"Can not open file 'data.txt' "<<endl;  36         return -1;  37  }  38     fout.setf(ios_base::fixed,ios_base::floatfield);   //防止输出的数字使用科学计数法
 39     for(i = 0; i < m; i++){  40         //SIZE_CHAR=10000+RAND_MAX*(rand()%300)+rand(); //RAND_MAX=32767,随机生成数据量
 41         SIZE_CHAR = rand() % 10000;  42         fout<<SIZE_CHAR<<",";  43         // SIZE[i]=SIZE_CHAR; //限定数据规模为10000~9872867
 44         char a[SIZE_CHAR + 1] = {'\0'};  45         char b[SIZE_CHAR + 1] = {'\0'};  46         cout<<"☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆The "<<i+1<<"th test's string size is:"<<SIZE_CHAR<<"☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆"<<endl;  47         for (int i = 0; i < SIZE_CHAR; ++i){  48             int x = rand() / (RAND_MAX / (sizeof(CCH) - 1));  49             a[i] = CCH[x];  50  }  51         cout<<"The first random sting is:" <<a <<endl;  52         for (int i = 0; i < SIZE_CHAR; ++i){  53             int x = rand() / (RAND_MAX / (sizeof(CCH) - 1));  54             b[i] = CCH[x];  55  }  56         cout<<"The second random string is:" <<b <<endl;  57         cout<<"The longest common subsequence is:";  58         QueryPerformanceFrequency(&nFreq);//获取系统时钟频率
 59         QueryPerformanceCounter(&nBeginTime);//获取开始时刻计数值
 60         int la=strlen(a);  61         int lb=strlen(b);  62         memset(dp,0,sizeof(dp));  63         for(int i=1; i<=la; i++){  64             for(int j=1; j<=lb; j++){  65                 if(a[i-1]==b[j-1])  66                     dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;  67                 else
 68                     dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);  69  }  70  }  71         int i=la,j=lb;  72         stack<char>s;  73         while(dp[i][j]){  74             if(dp[i][j]==dp[i-1][j]){//来自于左方向
 75                 i--;  76  }  77             else if(dp[i][j]==dp[i][j-1]){//来自于上方向
 78                 j--;  79  }  80             else if(dp[i][j]>dp[i-1][j-1]){//来自于左上方向
 81                 i--;  82                 j--;  83                 s.push(a[i]);         //压栈以便倒序输出
 84  }  85  }  86     while(!s.empty())  87  {  88         c=s.top();  89         printf("%c",c);  90  s.pop();  91  }  92     cout<<endl;  93     QueryPerformanceCounter(&nEndTime);//获取中止时刻计数值
 94     cost=(double)(nEndTime.QuadPart - nBeginTime.QuadPart) / (double)nFreq.QuadPart;  95     fout<<cost<<endl;  96     //runtime[i]=cost;
 97     cout<<"The running time is："<<cost<<" s"<<endl;  98  }  99  fout.close(); 100     cout<<"Success!"<<endl; 101     return 0; 102 }

程序设计思路：

设序列X={x₁，x₂，…，x_m}和Y={y₁，y₂，…，y_n}的最长公共子序列为Z={z₁，z₂，…，z_k}，则

a.若x_m=y_n，则z_k=x_m=y_n，且Z_k-1是X_m-1和Y_n-1的最长公共子序列。

b.若x_m≠y_n，且z_k≠x_m，则Z是X_m-1和Y的最长公共子序列。

c.若x_m≠y_n，且z_k≠y_n，则Z是X和Y_n-1的最长公共子序列。

其中，X_m-1={x₁，x₂，…，x_m-1}；Y_m-1={y₁，y₂，…，y_n-1}；Z_k-1={z₁，z₂，…，z_k-1}。

② 子问题的递归结构

首先创建子问题最优值的递归关系。用c[i][j]记录序列X_i和Y_j的最长公共子序列的长度。其中，X={x₁，x₂，…，x_m}；Y={y₁，y₂，…，y_n}。当i=0或j=0时，空序列是X_i和Y_j的最长公共子序列，故此时c[i][j]=0。在其余状况下，由最优子结构性质课件里递归关系以下：

③计算最优值

以序列X和Y做为输入。输出两个数组c和b。其中c[i][j]存储X_i和Y_j的最长公共子序列的长度，b[i][j]记录c[i][j]的值是由哪个子问题的解获得的，这在构造最长公共子序列时要用到。问题的最优值，即X和Y的最长公共子序列的长度记录与c[m][n]中。

④构造最长公共子序列

首先从b[m][n]开始，依其值在数组b中搜索。当b[i][j]=1时，表示X_i和Y_j的最长公共子序列是由X_i-1和Y_j-1的最长公共子序列在尾部加上x_i所获得的子序列；当b[i][j]=2时，表示X_i和Y_j的最长公共子序列与X_i-1和Y_j的最长公共子序列相同；当b[i][j]=3时，表示X_i和Y_j的最长公共子序列与X_i和Y_j-1的最长公共子序列相同。

时间复杂性分析：

a.计算最优值

因为每一个数组单元的计算耗费O（1）的时间，此部分算法耗时为O（mn）。

b.构造最长公共子序列

该算法每一次递归调用使i或j减1，所以算法的计算时间为O（m+n）。

生成的数据可导入EXCEL中进行数据分析生成分析图表。