用Python学《微积分B》（重积分）

  重积分（Multiple Integral）是指不止一个积分变量的积分，其中 R2 空间的积分称为二重积分，而 R3 空间的积分称为三重积分。关于二重积分和三重积分，可以参考“Paul online math”，它对重积分的内容讲述的比较简单明了。

一、二重积分

1，二重积分的概念
  前面在讲一元函数定积分时，就指出：定积分实际上是“Riemann和”。对于一元函数定积分来说，它的积分元（分割单元）是一维的坐标轴单元 Δxi 或 dx ，它的积分范围是坐标轴区间 [a,b] ；而对应二元函数的二重积分来说，它的积分元是二维的面积元 Δσi 或 dxdy ，它的积分范围是平面上的区域 D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d} ，即平面点集。下图演示的就是面积元积分：

  从某种意义上说：二重积分又被称为“面积积分”。

∬Df(x,y)dσ=limn→+∞∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi

  与一元函数定积分类似，二重积分也支持：区域叠加、数乘、加减法等性质。


2，二重积分的计算
  二重积分的计算主要分发两步：一是化二重积分为二次积分；二是区域切割。
1)Fubini’s Theorem
   如果 f(x,y) 在 R=[a,b]×[c,d] 上连续，则

∬Rf(x,y)dA=∫ba∫dcf(x,y)dxdy=∫ba[∫dcf(x,y)dy]dx

   这就是“迭代积分”（Iterated Integral）。这类二重积分可以化为二次积分来进行计算。
2）区域分割
  对于“迭代积分”，我们可以根据积分区域的叠加性质，选取适合定积分计算的分割方法，将积分区域分割成有限子区域。分割时对于直角坐标系和极坐标，它们的套路是不同的，具体可以参考：
  Double Integral on General Region
  Double Integral in Polar Coodinates

三、三重积分

  类似地，三重积分是 R3 空间的积分，它的积分元是三维的体积元。