【OI】线性筛

如何查找一个范围内的全部素数？

能够是从1~n挨个判断n%i 是否 == 0，也能够从 1~sqr(n) 一个个判断。

相信大家也据说过埃氏筛法，是使用每个数的倍数筛掉合数！可是！每个合数要被筛屡次！这就给了咱们优化的可乘之机！

它叫作线性筛，顾名思义，时间复杂度是线性的。

咱们都知道，线性的复杂度已经很是优秀了，接下来咱们的目的就是如何让每个合数只被筛一次。

下面记住这条线性筛的原理：

每一个合数只被它的最小质因子筛一次

每一个合数只被它的最小质因子筛一次

每一个合数只被它的最小质因子筛一次

重要的事情说三遍！！！

 

 

#include<iostream>
#include<cstdio>

const int MaxN = 20025;

bool notp[MaxN];

int prime[MaxN];
int tot;

int main(){
	
	int x;
	scanf("%d",&x);
	
	for(int i = 2; i <= x; i++){
		if(notp[i] == 0){
			prime[++tot] = i;
			
		}
		
		for(int j = 1; j <= tot; j++){
			if(i * prime[j] > x)
				break;
				
			notp[i*prime[j]] = 1;
			
			if(i % prime[j] == 0)
				break;
			
			
		}
		
	}
	
	for(int i = 1; i <= tot; i++){
		printf("%d ",prime[i]);
	}
	
	return 0;
}  

　　

看起来很是简短，对不对？

下面解释一下这段代码：

输入x，求0~x区间中的全部素数。

接下来，是2~x的枚举，为何从2开始相信各位也都明白。

notp数组的意思是"is not a prime"，不是一个质数，值为0时表明它是一个质数。（在开始咱们已经把它默认设置为全为素数，尽管事实不是那样）

若是发现一个数"is not not a prime"(=="is a prime)就把它放到咱们的素数数组里，至于为何这么作稍后解答。（并且，咱们显然能够看出这个数组具备单调递增的性质）

接下来咱们就循环咱们的素数数组，对于每一个元素筛去它的质数倍。

相信 if ( i * prime[j] > x) break; 你们都理解，下面就是标记它是一个素数。

接下来就是重点！

线性筛所有的Knowledge都凝聚在这一句话！if ( i % prime[j] == 0 ) break;

它意味着，只有最小的质因数才能筛去其它的数。

由于，若是 i % prime[j] == 0 的话，这就是说 i 拥有一个最小的质因数 prime[j] ，缘由有两条：①咱们以前没有触发过 i % prime[j] == 0，那么就是说，以前的 prime[1~j]都不是i的任何因数。

② i % prime[j] == 0 意味着， i * prime[j] 等同于 prime[j] * i/prime[j] * prime[j] ，其中全部数均为整数，最小质因子就是 prime[j]。这违反了咱们在一开始的原理：

每一个合数只被它的最小质因子筛一次

而咱们经过找规律发现，i * prime[j] 的最小质因子永远是素数序列中的prime[j]。

（例如，素数序列是 2,3，正在枚举4，4*2=8，最小质因子是2；素数序列是2，3，正在枚举3，2*3=6，3*3=9，2和3都是其中的最小质因子）

那么，接下来咱们要注意一个事情。为何 if( i % prime[j] == 0 ) break; 要放在 notp[i * prime[j]] = 1; 后面呢？难道不能放在它前面吗？

刚刚我解释过的缘由①，在触发 if( i % prime[j] == 0 ) break; 意味着prime[j]是i最早遇到的质因子，而且咱们知道某一个数的某个因子必定小于等于它自己，因此显而易见，咱们的素数序列包括到i（不管i是不是质数）的全部质数（若是i是质数，那么包括i）。咱们以前也说过这个质数序列是单调递增的，那么prime[j]就是 i 的最小质因子！

而咱们之因此在筛完 i * prime[j] 以后才运行这个条件判断，是由于 i % prime[j] 第一次 == 0 的时候，prime[j]是i的最小质因子！若是这里不break，那么下一次 i % prime[k] == 0的时候，显而易见，prime[k]不是i的最小质因子，这违反了咱们在开头给出的原理。为了不某些合数未来被筛第二次，因此咱们这里直接break，把筛掉剩下 i * prime[x] 的事情交给以后的质数序列去作。这样，就能够保证每一个质数只被筛一次。

 

最后输出质数序列，相信各位都明白。