01背包问题

动态规划的基本思想：

将一个问题分解为子问题递归求解，且将中间结果保存以免反复计算。通常常使用来求最优解，且最优解的局部也是最优的。求解过程产生多个决策序列，下一步老是依赖上一步的结果，自底向上的求解。

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤：

1. 描写叙述一个最优解的结构，寻找子问题，对问题进行划分。

2. 定义状态。每每将和子问题相关的各个变量的一组取值定义为一个状态。某个状态的值就是这个子问题的解（如有k个变量，通常用K维的数组存储各个状态下的解，并可根    据这个数组记录打印求解过程。）。

3. 找出状态转移方程。一般是从一个状态到还有一个状态时变量值改变。

4.以“自底向上”的方式计算最优解的值。

5. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。(最优解是问题达到最优值的一组解)

当中步骤1~4是动态规划求解问题的基础，假设题目仅仅要求最优解的值，则步骤5可以省略。

背包问题

01背包: 有N件物品和一个重量为M的背包。（每种物品均仅仅有一件）第i件物品的重量是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可以使价值总和最大。

全然背包: 有N种物品和一个重量为M的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的重量是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可以使这些物品的费用总和不超过背包重量，且价值总和最大。

多重背包: 有N种物品和一个重量为M的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件重量是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可以使这些物品的费用总和不超过背包重量，且价值总和最大。

01背包问题：

这是最基础的背包问题，特色是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以得到的最大价值。则其状态转移方程即是：

c[i][m]=max{c[i-1][m],c[i-1][m-w[i]]+p[i]}

这个方程很重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。因此有必要将它详解一下：“将前i件物品放入重量为m的背包中”这个子问题，若仅仅考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个仅仅牵扯前i-1件物品的问题。假设不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为c[i-1][m]；假设放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的重量为m-w[i]的背包中”，此时能得到的最大价值就是c[i-1][m-w[i]]再加上经过放入第i件物品得到的价值p[i]。

測试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0開始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.因此置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案仍是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为本身的重量5.背包容量为7的时候，很是显然是5加上一个值了。加谁??很是显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.因此。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是自己的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.因此得9.)

public class Pack01 {

	public int [][] pack(int m,int n,int w[],int p[]){
		//c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以得到的最大价值
		int c[][]= new int[n+1][m+1];
		for(int i = 0;i<n+1;i++)
			c[i][0]=0;
		for(int j = 0;j<m+1;j++)
			c[0][j]=0;
		//
		for(int i = 1;i<n+1;i++){
			for(int j = 1;j<m+1;j++){
				//当物品为i件重量为j时，假设第i件的重量(w[i-1])小于重量j时，c[i][j]为下列两种状况之中的一个：
				//(1)物品i不放入背包中，因此c[i][j]为c[i-1][j]的值
				//(2)物品i放入背包中，则背包剩余重量为j-w[i-1],因此c[i][j]为c[i-1][j-w[i-1]]的值加上当前物品i的价值
				if(w[i-1]<=j){
					if(c[i-1][j]<(c[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1]))
						c[i][j] = c[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1];
					else
						c[i][j] = c[i-1][j];
				}else
					c[i][j] = c[i-1][j];
			}
		}
		return c;
	}
    /**
     * 逆推法求出最优解
     * @param c
     * @param w
     * @param m
     * @param n
     * @return
     */
    public int[] printPack(int c[][],int w[],int m,int n){
        
        int x[] = new int[n];
        //从最后一个状态记录c[n][m]開始逆推
        for(int i = n;i>0;i--){
            //假设c[i][m]大于c[i-1][m]，说明c[i][m]这个最优值中包括了w[i-1](注意这里是i-1，因为c数组长度是n+1)
            if(c[i][m]>c[i-1][m]){
                x[i-1] = 1;
                m-=w[i-1];
            }
        }
        for(int j = 0;j<n;j++)
            System.out.println(x[j]);
        return x;
    }
	public static void main(String args[]){
		int m = 10;
		int n = 3;
		int w[]={3,4,5};
		int p[]={4,5,6};
		Pack01 pack = new Pack01();
		int c[][] = pack.pack(m, n, w, p);
		pack.printPack(c, w, m,n);
	}
}