背包问题（1）-------01背包

首先，我也是才晓得01背包，之前以为是个比较高升的问题，可是如今就感受还好，难度较小，理解起来比较容易，是背包问题中最简单的问题，多说无益，先来看一看，01背包的概念

01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2至Wn，与之相对应的价值为P1,P2至Pn。01背包是背包问题中最简单的问题。01背包的约束条件是给定几种物品，每种物品有且只有一个，而且有权值和体积两个属性。在01背包问题中，由于每种物品只有一个，对于每一个物品只须要考虑选与不选两种状况。若是不选择将其放入背包中，则不须要处理。若是选择将其放入背包中，因为不清楚以前放入的物品占据了多大的空间，须要枚举将这个物品放入背包后可能占据背包空间的全部状况，时间较慢，因此很少用。

01背包题目的雏形是：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可以使价值总和最大。

从这个题目中能够看出，01背包的特色就是：每种物品仅有一件，能够选择放或不放。

其状态转移方程是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

对于这方方程其实并不难理解，方程之中，如今须要放置的是第i件物品，这件物品的体积是c[i],价值是w[i],所以f[i-1][v]表明的就是不将这件物品放入背包，而f[i-1][v-c[i]]+w[i]则是表明将第i件放入背包以后的总价值，比较二者的价值，得出最大的价值存入如今的背包之中。

理解了这个方程后，将方程代入实际题目的应用之中，可得

for (i = 1; i <= n; i++)
    for (j = v; j >= c[i]; j--)//循环嵌套，保证装满为止
        f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - c[i]] + w[i]);

可是这个的时间复杂度较大，因此要优化。今天就不说了。

总结一下

01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题每每也能够转换成01背包问题求解。故必定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。