knuth洗牌算法

 

首先来思考一个问题：

设计一个公平的洗牌算法

1.

看问题，洗牌，显然是一个随机算法了。随机算法还不简单？随机呗。把全部牌放到一个数组中，每次取两张牌交换位置，随机 k 次便可。

 

若是你的答案是这样，一般面试官会进一步问一下，k 应该取多少？100？1000？10000？

 

很显然，取一个固定的值不合理。若是数组中有 1000000 个元素，随机 100 次太少；若是数组中只有 10 个元素，随机 10000 次又太多。一个合理的选择是，随机次数和数组中元素大小相关。好比数组有多少个元素，咱们就随机多少次。

 

这个答案已经好不少了。但其实，连这个问题的本质都没有触及到。此时，面试官必定会狡黠地一笑：这个算法公平吗？

 

咱们再看问题：设计一个公平的洗牌算法。

问题来了，对于一个洗牌算法来讲，什么叫“公平”？这实际上是这个问题的实质，咱们必须定义清楚：什么叫公平。

 

一旦你开始思考这个问题，才触及到了这个问题的核心。在我看来，无论你能不能最终给出正确的算法，若是你的思路是在思考对于洗牌算法来讲，什么是“公平”，我都以为很优秀。

 

由于背出一个算法是简单的，可是这种探求问题本源的思考角度，毫不是一日之功。别人告诉你再屡次“要定义清楚问题的实质”都没用。这是一种不断面对问题，不断解决问题，逐渐磨炼出来的能力，短期内没法培训。

 

这也是我常常说的，面试不是标准化考试，不必定要求你给出正确答案。面试的关键，是看每一个人思考问题的能力。

 

说回咱们的洗牌算法，什么叫公平呢？一旦你开始思考这个问题，其实答案不难想到。洗牌的结果是全部元素的一个排列。一副牌若是有 n 个元素，最终排列的可能性一共有 n! 个。公平的洗牌算法，应该能等几率地给出这 n! 个结果中的任意一个。

 

如思考到这一点，咱们就能设计出一个简单的暴力算法了：对于 n 个元素，生成全部的 n! 个排列，而后，随机抽一个。

 

这个算法绝对是公平的。但问题是，复杂度过高。复杂度是多少呢？O(n!)。由于，n 个元素一共有 n! 种排列，咱们求出全部 n! 种排列，至少须要 n! 的时间。

 

有一些同窗对 O(n!) 没有概念。我本科时就闹过笑话，正儿八经地表示 O(n!) 并非什么大不了不得的复杂度。实际上，这是一个比指数级 O(2^n) 更高的复杂度。由于 2^n 是 n 个 2 相乘；而 n! 也是 n 个数字相乘，但除了 1，其余全部数字都是大于等于 2 的。当 n>=4 开始，n! 以极快的的速度超越 2^n。

O(2^n) 已经被称为指数爆炸了。O(n!) 不可想象。

因此，这个算法确实是公平的，可是，时间不可容忍。

 

3.

咱们再换一个角度思考“公平”这个话题。其实，咱们也能够认为，公平是指，对于生成的排列，每个元素都能等几率地出如今每个位置。或者反过来，每个位置都能等几率地放置每一个元素。

 

这个定义和上面的最终洗牌结果，能够等几率地给出这 n! 个排列中的任意一个，是等价的。这个等价性，能够证实出来。并不难。若是正在学习几率论的同窗，还比较习惯几率论处理问题的思想，应该能很快搞定：）

 

基于这个定义，咱们就能够给出一个简单的算法了。说这个算法简单，是由于他的逻辑太容易了，就一个循环：

 

 

这么简单的一个算法，能够保证上面我所说的，对于生成的排列，每个元素都能等几率的出如今每个位置。或者反过来，每个位置都能等几率的放置每一个元素。

 

你们能够先简单的理解一下这个循环在作什么。其实很是简单，i 从后向前，每次随机一个 [0...i] 之间的下标，而后将 arr[i] 和这个随机的下标元素，也就是 arr[rand() % (i + 1)] 交换位置。

 

你们注意，因为每次是随机一个 [0...i] 之间的下标，因此，咱们的计算方式是 rand() % (i + 1)，要对 i + 1 取余，保证随机的索引在 [0...i] 之间。

 

这个算法就是大名鼎鼎的 Knuth-Shuffle，即 Knuth 洗牌算法。

 

这个算法的原理，咱们稍后再讲。先来看看 Knuth 何许人也？

中文名：高纳德。算法理论的创始人。咱们如今所使用的各类算法复杂度分析的符号，就是他发明的。上世纪 60-70 年代计算机算法的黄金时期，近乎就是他一手主导的。他的成就实在太多，有时间单独发文介绍，可是，我以为一篇文章是不够的，一本书还差很少。

 

你们最津津乐道的，就是他所写的《The Art of Computer Programming》，简称 TAOCP。这套书准备写七卷本，而后，到今天尚未写完，但已经被《科学美国人》评为能够媲美相对论的巨著。

微软是 IT 界老大的年代，比尔盖茨直接说，若是你看完了这套书的第一卷本，请直接给我发简历。

至于这套书为何写的这么慢？由于老爷子写到一半，以为当下的文字排版工具都太烂，因而转而发明出了如今流行的LaTex文字排版系统...

 

另外，老爷子可能以为当下的编程语言都不能完美地表现本身的逻辑思想，还发明了一套抽象的逻辑语言，用于这套书中的逻辑表示...

4.

 

是时候仔细的看一下，这个简单的算法，为何能作到保证：对于生成的排列，每个元素都能等几率的出如今每个位置了。

 

其实，简单的吓人：）

 

在这里，咱们模拟一下算法的执行过程，同时，对于每一步，计算一下几率值。

咱们简单的只是用 5 个数字进行模拟。假设初始的时候，是按照 1，2，3，4，5 进行排列的。

 

那么，根据这个算法，首先会在这五个元素中选一个元素，和最后一个元素 5 交换位置。假设随机出了 2

下面，咱们计算 2 出如今最后一个位置的几率是多少？很是简单，由于是从 5 个元素中选的嘛，就是 1/5。实际上，根据这一步，任意一个元素出如今最后一个位置的几率，都是 1/5。

下面，根据这个算法，咱们就已经不用管 2 了，而是在前面 4 个元素中，随机一个元素，放在倒数第二的位置。假设咱们随机的是 3。3 和如今倒数第二个位置的元素 4 交换位置。

下面的计算很是重要。3 出如今这个位置的几率是多少？计算方式是这样的：

其实很简单，由于 3 逃出了第一轮的筛选，几率是 4/5，可是 3 没有逃过这一轮的选择。在这一轮，一共有4个元素，因此 3 被选中的几率是 1/4。所以，最终，3 出如今这个倒数第二的位置，几率是 4/5 * 1/4 = 1/5。仍是 1/5 !

实际上，用这个方法计算，任意一个元素出如今这个倒数第二位置的几率，都是 1/5。

相信聪明的同窗已经了解了。咱们再进行下一步，在剩下的三个元素中随机一个元素，放在中间的位置。假设咱们随机的是 1。

关键是：1 出如今这个位置的几率是多少？计算方式是这样的：

即 1 首先在第一轮没被选中，几率是 4/5，在第二轮又没被选中，几率是 3/4 ，可是在第三轮被选中了，几率是 1/3。乘在一块儿，4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5。

 

用这个方法计算，任意一个元素出如今中间位置的几率，都是 1/5。

这个过程继续，如今，咱们只剩下两个元素了，在剩下的两个元素中，随机选一个，好比是4。将4放到第二个位置。

而后，4 出如今这个位置的几率是多少？4 首先在第一轮没被选中，几率是 4/5；在第二轮又没被选中，几率是 3/4；第三轮还没选中，几率是 2/3，可是在第四轮被选中了，几率是 1/2。乘在一块儿，4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5。

 

用这个方法计算，任意一个元素出如今第二个位置的几率，都是 1/5。

最后，就剩下元素5了。它只能在第一个位置呆着了。

那么 5 留在第一个位置的几率是多少？即在前 4 轮，5 都没有选中的几率是多少？

在第一轮没被选中，几率是 4/5；在第二轮又没被选中，几率是 3/4；第三轮还没选中，几率是 2/3，在第四轮依然没有被选中，几率是 1/2。乘在一块儿，4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5。

你看，在整个过程当中，每个元素出如今每个位置的几率，都是 1/5 ！

因此，这个算法是公平的。

 

固然了，上面只是举例子。这个证实能够很容易地拓展到数组元素个数为 n 的任意数组。整个算法的复杂度是 O(n) 的。