【数据校验杂谈】循环冗余检验 (CRC) 算法原理

循环冗余检验 (CRC) 算法原理

Cyclic Redundancy Check循环冗余检验，是基于数据计算一组效验码，用于核对数据传输过程当中是否被更改或传输错误。

算法原理

假设数据传输过程当中须要发送15位的二进制信息g=101001110100001，这串二进制码可表示为代数多项式g(x) = x^14 + x^12 + x^9 + x^8 + x^7 + x^5 + 1，其中g中第k位的值，对应g(x)中x^k的系数。将g(x)乘以x^m，既将g后加m个0，而后除以m阶多项式h(x)，获得的(m-1)阶余项r(x)对应的二进制码r就是CRC编码。

h(x)能够自由选择或者使用国际通行标准，通常按照h(x)的阶数m，将CRC算法称为CRC-m，好比CRC-3二、CRC-64等。国际通行标准能够参看http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_redundancy_check

g(x)和h(x)的除运算，能够经过g和h作xor（异或）运算。好比将11001与10101作xor运算：

      

明白了xor运算法则后，举一个例子使用CRC-8算法求101001110100001的效验码。CRC-8标准的h(x) = x^8 + x^7 + x^6 + x^4 + x^2 + 1，既h是9位的二进制串111010101。 

      

通过迭代运算后，最终获得的r是10001100，这就是CRC效验码。

经过示例，能够发现一些规律，依据这些规律调整算法： 

1. 每次迭代，根据gk的首位决定b，b是与gk进行运算的二进制码。若gk的首位是1，则b=h；若gk的首位是0，则b=0，或者跳过这次迭代，上面的例子中就是碰到0后直接跳到后面的非零位。

               


2. 每次迭代，gk的首位将会被移出，因此只需考虑第2位后计算便可。这样就能够舍弃h的首位，将b取h的后m位。好比CRC-8的h是111010101，b只需是11010101。 

      

3. 每次迭代，受到影响的是gk的前m位，因此构建一个m位的寄存器S，此寄存器储存gk的前m位。每次迭代计算前先将S的首位抛弃，将寄存器左移一位，同时将g的后一位加入寄存器。若使用此种方法，计算步骤以下： 

      

※蓝色表示寄存器S的首位，是须要移出的，b根据S的首位选择0或者h。黄色是须要移入寄存器的位。S'是通过位移后的S。

 

查表法

一样是上面的那个例子，将数据按每4位组成1个block，这样g就被分红6个block。

      

下面的表展现了4次迭代计算步骤，灰色背景的位是保存在寄存器中的。 

      

经4次迭代，B1被移出寄存器。被移出的部分，不咱们关心的，咱们关心的是这4次迭代对B2和B3产生了什么影响。注意表中红色的部分，先做以下定义：

   B23 = 00111010
   b1 = 00000000
   b2 = 01010100
   b3 = 10101010
   b4 = 11010101
   b' = b1 xor b2 xor b3 xor b4

4次迭代对B2和B3来讲,实际上就是让它们与b1,b2,b3,b4作了xor计算，既：

   B23 xor b1 xor b2 xor b3 xor b4

能够证实xor运算知足交换律和结合律，因而：

   B23 xor b1 xor b2 xor b3 xor b4 = B23 xor (b1 xor b2 xor b3 xor b4) = B23 xor b'

b1是由B1的第1位决定的，b2是由B1迭代1次后的第2位决定（既是由B1的第1和第2位决定），同理,b3和b4都是由B1决定。经过B1就能够计算出b'。另外，B1由4位组成，其一共2^4有种可能值。因而咱们就能够想到一种更快捷的算法，事先将b'全部可能的值，16个值能够当作一个表；这样就能够没必要进行那4次迭代，而是用B1查表获得b'值，将B1移出，B3移入，与b'计算，而后是下一次迭代。

      

可看到每次迭代，寄存器中的数据以4位为单位移入和移出，关键是经过寄存器前4位查表得到
，这样的算法能够大大提升运算速度。

上面的方法是半字节查表法，另外还有单字节和双字节查表法，原理都是同样的——事先计算出2^8或2^16个b'的可能值，迭代中使用寄存器前8位或16位查表得到b'。

反向算法

以前讨论的算法能够称为正向CRC算法，意思是将g左边的位看做是高位，右边的位看做低位。G的右边加m个0，而后迭代计算是从高位开始，逐步将低位加入到寄存器中。在实际的数据传送过程当中，是一边接收数据，一边计算CRC码，正向算法将新接收的数据看做低位。

逆向算法顾名思义就是将左边的数据看做低位，右边的数据看做高位。这样的话须要在g的左边加m个0，h也要逆向，例如正向CRC-16算法h=0x4c11db8，逆向CRC-16算法h=0xedb88320。b的选择0仍是h，由寄存器中右边第1位决定，而不是左边第1位。寄存器仍旧是向左位移，就是说迭代变成从低位到高位。