[十二省联考2019]骗分过样例

时间 2019-11-11

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传送门

　　这道题是个毒瘤题，花费了我\(\text{1day}\)独立解决\(16\)个子任务。下面步入正题。c++

subtask 1-3:1_998244353

　　这个观察数据不可贵出要求\(19^x\bmod 998244353\)，直接搞便可。注意到可能\(x\)很是大，根据费马小定理\(x^{P-1} \equiv 1 \pmod P\)，咱们须要读入取模。git

subtask 4:1?

　　观察数据和提示告诉咱们：仍然求\(19^x\)，只不过模数不知道。发现输出文件的最大值在\(10^6\)左右，咱们拿第一个输入直接爆搜检验，最后能找出来\(P=1145141\)。算法

subtask 5:1?+

　　这个是前一个的增强版，发现模数在\(5\times 10^{18}\)左右，这个很差暴力了。怎么办呢？我把输入的数排了个序，发现有两组输入的\(x\)之差为\(2\)，因而我找到这两组对应的输出，获得了：\(19^{264708066}\equiv 1996649514996338529 \pmod P\)和\(19^{264708068}\equiv 1589589654696467295 \pmod P\)。也就是说上面的式子乘上\(19^2\)再取模就能获得下面的数字，因而咱们获得了：\(1996649514996338529\times 19^2 \equiv 1589589654696467295 \pmod P\)。而后改写这个式子：\(1996649514996338529\times 361-nP=1589589654696467295\)，把常数移到右边，发如今\(long\ long\)范围内没法算出，我用\(long\ double\)算出了近似值。而后\(P\)必定是这个数的一个因子。发现\(n\)在\(100\)到\(200\)左右，我就暴力试除，考虑到精度又将\(\pm 1000\)的模数用第一组输入输出判断了一下，最后找到了模数\(P=5211600617818708273\)。函数

subtask 6-7:1wa_998244353

　　发现并非求\(19^x \bmod 998244353\)了，换成了用\(int\)一步一步直接乘再取模，忽视溢出等问题。代码以下。测试

x = (int)(x * 19) % 998244353;

　　第\(6\)个点直接顺序求解便可。第\(7\)个点恐怕不太行，\(x\)太大了。我一开始想改写快速幂来求解，发现行不通。正当我束手无策的时候，我让第\(6\)个点多跑到\(10^6\)组，发现了循环节。就是从\(x=55246\)开始，答案每过\(45699\)个数循环一次。这让我想起了\(\text{Pollard-Rho}\)算法的\(\rho\)。固然与那个算法没有关系，这里直接用上述性质便可。ui

subtask 14-16:2g && 2g+

　　当时我在作完前面\(6\)个\(\text{subtask}\)后紧接着作的。前面两个点，每次询问给你三个数\(l\)，\(r\)，\(P\)，要求\(l\)到\(r\)在模\(P\)下的原根。对于第\(14\)个点，\(P=998244353\)时，\(\varphi(P)=P-1=998244352=2^{23}\times 7\times 17\)，由于不一样的质因子只有\(3\)个，因此能够直接试除判断是否为原根。spa

　　对于第\(15\)个点，\(P=13123111\)，\(\varphi(P)=13123110=2×3×5×7×11×13×19×23\)，并且判断的数字多达\(10^7\)个，试除确定会\(\text{T}\)。咱们能够利用其中一个原根把其余的原根遍历出来。在这里\(g\)取\(6\)，由于\(g^t\)遍历全部\(\varphi(P)\)个与\(P\)互质的数，而当且仅当\(t\)与\(\varphi(P)\)互质的时候\(g^t\)也是原根。因而咱们用\(\varphi(P)\)的质因子对\(t\)进行取模判断。遍历完后原根就找全了。code

　　对于第\(16\)个点，最后一组询问未知模数，根据数据给的原根咱们反求模数。提示说在\(10^9\)到\(2\times 10^9\)之间且是个质数，咱们一个一个找，而后借助已有的原根经过试除法判断这个质数可不可行。\(\forall g\)，若是\(g^\frac{P-1}{2}\not\equiv 1 \pmod P\)，则\(P\)极可能是咱们要找的模数。个人电脑跑了大约\(5min\)找到了一个数\(P=1515343657\)，而后检验发现是正确的。用它搜原根与用\(P=998244353\)的方法同样。因而就解决了。get

subtask 8-10:2p

　　要求咱们判断\(l\)到\(r\)内每一个数是否是质数。小范围的能够用线性筛，范围稍微大点的可能能够筛一部分数而后用这部分数来筛\(l\)到\(r\)。我直接上了\(\text{Miller-Rabin}\)，这个算法能够在\(\log n\)的时间内测试一个数是否是质数，正确率为\(1-(\frac{1}{4})^s\)，\(s\)为测试次数。这题貌似选取两三个数就能够了，这样常数小全能过。it

subtask 11-13:2u

　　这里让咱们筛出\(l\)到\(r\)的莫比乌斯函数。

　　同上面同样，咱们能够小范围地筛出来\(\mu\)过掉前两个点。当时我没有这么想，用了\(\text{Pollard-Rho}\)来暴力分解而后筛出前\(10^6\)个莫比乌斯函数，发现第二个点都过不掉。怎么办呢？最大的数为\(10^{18}\)，我想到若是筛出\(10^6\)之内的质数而后用这些质数来筛这些数，剩下的数的素因子必定\(\geq 10^6\)，因此剩下的数最多只能有两个素因子，也就是如下三种状况：

　　1、剩下的数是质数，用\(\text{Miller-Rabin}\)判一下，这个时候会使\(\mu\)乘上\(-1\)；

　　2、剩下的数是两个不一样的质数的乘积；负负得正，这个时候不会对\(\mu\)产生贡献；

　　3、剩下的数是一个质数的平方。这个时候\(\mu\)为\(0\)。

　　用小于\(10^6\)的因子去筛这些数，而且维护\(\mu\)，而后经过上面的三种状况分类讨论便可求解。

　　但要注意要去掉含有平方因子的数。最后这道题就解完了。

\\ AC代码
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define rep(i, a, b) for (register int i = a, end = b; i <= end; i++)
#define repd(i, a, b) for (register int i = a, end = b; i >= end; i--)
#define chkmax(a, b) a = max(a, b)
#define chkmin(a, b) a = min(a, b)
#define INF (1<<30)
#define pb push_back
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define fst first
#define snd second
#define pii pair<int, int>

char s[15];

namespace _998244353 {
    int N;
    ull P;
    ull v;

    inline void inc(ull &a, ull b, ull p) {
        a += b;
        if (a >= p) a -= p;
    }

    ull Mult(ull a, ull b, ull p) {
        ull res = 0;
        for (ull k = a; b; inc(k, k, p), b >>= 1)
            if (b & 1) inc(res, k, p);
        return res;
    }

    ull qpow(ull a, ull b, ull p) {
        ull res = 1;
        for (register ull k = a; b; k = Mult(k, k, p), b >>= 1)
        if (b & 1) res = Mult(res, k, p);
        return res;
    }

    inline ull read() {
        ull w = 0; char c;
        while (!isdigit(c = getchar())) ;
        while (isdigit(c)) w = ((w << 3) + (w << 1) + (c ^ 48)) % (P-1), c = getchar();
        return w;
    }
    void main(ull orz) {
        P = orz;
        scanf("%d", &N);
        rep(i, 1, N) {
            v = read();
            printf("%llu\n", qpow(19, v, P));
        }
    }
}

namespace WA {
    int N;
    int ans[55246+45699+5];
    void main() {
        scanf("%d", &N);
        ans[0] = 1;
        rep(i, 1, 55246+45699) {
            ans[i] = (int)(ans[i-1]*19)%998244353;
        }
        rep(i, 1, N) {
            ll val;
            scanf("%lld", &val);
            if (val <= 55246+45699) printf("%d\n", ans[val]);
            else printf("%d\n", ans[(val-55246)%45699+55246]);
        }
    }
}

namespace GG {
    int qpow(int a, int b, int p) {
        int res = 1;
        for (register int k = a; b; k = (ll)k*k%p, b >>= 1)
            if (b & 1) res = (ll)res * k % p;
        return res;
    }
    void run1(int l, int r, int p) {
        if (p == 998244353) {
            rep(i, l, r) if (qpow(i, 499122176, 998244353) != 1 && qpow(i, 142606336, 998244353) != 1 && qpow(i, 58720256, 998244353) != 1) printf("g"); else printf(".");
        } else {
            rep(i, l, r) 
                if (qpow(i, 757671828, 1515343657) != 1 && qpow(i, 505114552, 1515343657) != 1 &&
                    qpow(i, 378552, 1515343657) != 1 && qpow(i, 96072, 1515343657) != 1) printf("g"); else printf(".");
        }
        puts("");
    }
    int st[13123120];
    void run2(int p) {
        memset(st, 0, sizeof(st));
        int g = 6, cnt = 0;
        do {
            cnt++;
            if (cnt % 2 && cnt % 3 && cnt % 5 && cnt % 7 && cnt % 11 && cnt % 13 && cnt % 19 && cnt % 23) st[g] = 1;
            g = g*6%p;
        } while (g != 6);
        rep(i, 1, 13123110) if (st[i]) printf("g"); else printf(".");
        puts("");
    }
}

namespace PP {
    inline ll Mult(ll a, ll b, ll p) {
        ll c = (ll)a*b - (ll)((ull)((long double)a*b/p)*p);
        return c < 0 ? c+p : ((ull)c >= (ull)p ? c-p : c);
    }

    ll qpow(ll a, ll b, ll p) {
        ll res = 1;
        for (register ll k = a; b; k = Mult(k, k, p), b >>= 1)
            if (b & 1) res = Mult(res, k, p);
        return res;
    }
    int test[10] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
    bool MR(ll P, int cnt = 10) {
        ll s = P-1; int t = 0;
        while (!(s & 1)) s >>= 1, t++;
        rep(i, 0, cnt-1) {
            if (P == test[i]) return true;
            if (test[i] > P) return false;
            ll a = qpow(test[i], s, P), nxt;
            rep(x, 1, t) {
                nxt = Mult(a, a, P);
                if (nxt == 1 && a != 1 && a != P-1) return false;
                a = nxt;
                if (a == 1) break;
            }
            if (a != 1) return false;
        }
        return true;
    }
    int N;
    void main() {
        scanf("%d", &N);
        while (N--) {
            ll l, r;
            scanf("%lld%lld", &l, &r);
            while (l <= r) {
                if (MR(l)) printf("p"); else printf(".");
                l++;
            }
            puts("");
        }
    }
}

namespace UU {
    int N;
    int check[1000005], p[100000];
    void init() {
        memset(check, 0, sizeof(check));
        p[0] = 0;
        rep(i, 2, 1000000) {
            if (!check[i]) p[++p[0]] = i;
            for (register int j = 1; j <= p[0] && i*p[j] <= 1000000; j++) {
                check[i*p[j]] = 1;
                if (!(i % p[j])) break;
            }
        }
    }
    ll frac[1000001], mu[1000001];
    bool issqr(ll x) {
        ll v = sqrt(x);
        if (v*v == x || (v-1)*(v-1)==x || (v+1)*(v+1)==x) return true;
        return false;
    }
#define cc(x) ((x) == 0 ? '0' : ((x) < 0 ? '-' : '+'))
    void main() {
        init();
        scanf("%d", &N);
        while (N--) {
            ll l, r;
            scanf("%lld%lld", &l, &r);
            rep(i, 0, r-l) mu[i] = frac[i] = 1;
            rep(i, 1, p[0]) {
                ll x = 1ll*p[i]*p[i], st = l-(l-1)%x-1+x;
                while (st <= r) {
                    mu[st-l] = 0; frac[st-l] = st; st += x;
                }
                x = p[i], st = l-(l-1)%x-1+x;
                while (st <= r) {
                    mu[st-l] = -mu[st-l];
                    if (frac[st-l] != st) frac[st-l] *= x;
                    st += x;
                }
            }
            for (register ll i = l; i <= r; i++) {
                ll val = i/frac[i-l];
                if (val == 1) printf("%c", cc(mu[i-l]));
                else if (PP::MR(val, 2)) printf("%c", cc(-mu[i-l]));
                else if (issqr(val)) printf("0");
                else printf("%c", cc(mu[i-l]));
            }
            puts("");
        }
    }
}

int main() {
    srand(time(0));
    scanf("%s", s);
    if (s[2] == '9') _998244353::main(998244353);
    if (s[1] == '?') {
        if (s[2] == '+') {
            _998244353::main(5211600617818708273ll);
        } else {
            _998244353::main(1145141);
        }
    }
    if (s[1] == 'w') {
        WA::main();
    }
    if (s[1] == 'g') {
        int l, r, p, N;
        if (s[2] == '?') {
            scanf("%d", &N);
            while (N--) {
                scanf("%d%d", &l, &r);
                if (N) scanf("%d", &p); else p = 1515343657;
                GG::run1(l, r, p);
            }
        } else {
            scanf("%d", &N);
            while (N--) {
                scanf("%d%d%d", &l, &r, &p);
                if (p == 998244353) GG::run1(l, r, p);
                else GG::run2(p);
            }
        }
    }
    if (s[1] == 'p') {
        PP::main();
    }
    if (s[1] == 'u') {
        UU::main();
    }

    return 0;
}