题解-十二省联考2019 皮配

Problem

\(\mathrm{loj3051}\)

题意概要：有 \(c\) 个豆荚，共 \(n\) 颗豆子，每颗豆子都有本身的重量，如今须要将给豆子设定为 (黄色/绿色,圆粒/皱粒)，要求知足如下条件：

• 给定这四种性状的阀值 \(C_0,C_1,D_0,D_1\)，要求为这种性状的豆子重量和不能超过该阀值
• 与此同时，这 \(n\) 颗豆子中存在 \(k\) 颗顽皮豆，顽皮豆都有本身的想法，好比拒绝成为 (黄圆/黄皱/绿圆/绿皱)
• 同一个豆荚里的豆子必须 同时为黄色 或 同时为绿色

求有多少种给豆子设定的方案，对 \(998244353\) 取模

\(n,c\leq 10^3,k\leq 30\)

设 \(M=\max\{C_0,C_1,D_0,D_1\}\)，\(M\leq 2500\)

豆子重量不超过 \(\min\{M,10\}\)

Solution

首先有一个 \(O(nM^3)\) 的暴力：设定三维——“黄圆”、“黄皱”和“绿圆”的豆子重量和，枚举每一颗豆子去更新。酱紫就有 \(30pts+\)

其次有一个 \(O(nM^2)\) 的暴力：设定两维——“黄色”和“圆粒”的重量和。酱紫有 \(50pts\)

---

再者考虑 \(k=0\)：全部豆子都没有限制，考虑将豆子进行划分。发现不管是先划分 黄/绿 仍是先划分 圆/皱 都对结果没有影响，对应的这二者能够分开计算最后相乘：

设 \(f[i]\) 表示圆粒重量和为 \(i\) 的方案数，\(g[i]\) 表示圆粒重量和为 \(i\) 的方案数，这两个数组能够 \(O(nM)\) 背包求得，而后答案就为（设全部豆子重量和为 \(S\)）：

\[\sum_{i=S-C_1}^{C_0}\sum_{j=S-D_1}^{D_0}f[i]g[j]\]

作到这再算上前边的就有 \(70pts\)

---

如今考虑将顽皮豆加入 肯德基豪华午饭 考虑范畴

称这些顽皮豆为“有毒”的豆子，对应的豆荚必定为“有毒”的豆荚

（在阅读下面内容时，请时刻牢记：对于 黄/绿 的划分是以“豆荚”为单位的；对于 圆/皱 的划分是以“豆子”为单位的）

• 对于“无毒”的豆荚，仍然能够正常考虑其 黄/绿 的相对性状，dp 数组设为 \(f\)
• 对于“无毒”的豆子，仍然能够正常考虑其 圆/皱 的相对性状，dp 数组设为 \(g\)（由于“有毒”的豆子可能会影响整个豆荚的 黄/绿 性状，因此这里不考虑颜色性状）

那么依照前一档部分分，这两个是能够乘起来的

不难发现，求完 \(f\) 后就不用再管“无毒”豆荚的 黄/绿，求完 \(g\) 后就不用再管“无毒”豆子的 圆/皱，余下须要考虑的就只有“有毒”豆子的 黄/绿、圆/皱 了

因为“有毒”的豆子很少，只有 \(30\) 个，能够对这一部分考虑采用 \(50pts\) 那一档的暴力 Dp，dp 数组设为 \(F\)（注意 黄/绿 维度用的是整个豆荚的重量，圆/皱 维度用的是单个豆子的重量）

最后只要枚举“有毒”豆子的两个性状的重量 \(F\)，会获得一个 黄/绿 划分和一个 圆/皱 划分，考虑用 \(f\) 去匹配 黄/绿（这样全部“有毒”与“无毒”豆荚的 黄/绿 就处理完了），用 \(g\) 去匹配 圆/皱 划分（这样全部“有毒”与“无毒”的豆子的 圆/皱 就处理完了），乘起来便可

计算时间复杂度（空间反正是 \(O(M^2)\) 的）：

• 计算 \(f\) 的 dp 是 \(O(cM)\) 的
• 计算 \(g\) 的 dp 是 \(O(nM)\) 的
• 计算 \(F\) 的 dp 是 \(O(kM^2)\) 的，可是因为豆子的重量 \(s\leq 10\)，因此实际上是 \(O(k^2sM)\) 的
• 统计答案是 \(O(ksM)\) 的

总时间复杂度为 \(O((c+n)M+k^2sM)\)

另说，这题只考察了联赛级别的知识点——背包，包括：分部背包、双线程背包、背包合并……

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

inline void read(int&x){
    char ch=getchar();x=0;while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
}

const int p = 998244353;
inline int qm(const int x) {return x < p ? x : x - p;}
inline void pls(int&x, const int&y) {x = x+y < p ? x+y : x+y-p;}

const int N = 1010, M = 2503;
bool city_hate[N];
int city_sum[N], hate[N], b[N], s[N];
int f[M], pre_f[M], F[M][M];
int g[M], pre_g[M], G[M][M];
int n, c;

void work() {
    read(n), read(c);
    int C0, C1, D0, D1, ALL = 0;
    for(int i=1;i<=c;++i) city_hate[i] = false, city_sum[i] = 0;
    read(C0), read(C1), read(D0), read(D1);
    for(int i=1;i<=n;++i) read(b[i]), read(s[i]), city_sum[b[i]] += s[i], hate[i] = -1, ALL += s[i];
    int K, x; read(K);
    while(K--) read(x), read(hate[x]), city_hate[b[x]] = true;
    
    memset(f, 0, sizeof f), pre_f[0] = f[0] = 1;
    for(int i=1;i<=c;++i)
        if(!city_hate[i] and city_sum[i])
            for(int j = C0, ts = city_sum[i]; j >= ts; -- j)
                pls(f[j], f[j-ts]);
    for(int i=1;i<=C0;++i) pre_f[i] = qm(pre_f[i-1] + f[i]);
    
    memset(g, 0, sizeof g), pre_g[0] = g[0] = 1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(-1 == hate[i])
            for(int j = D0, ts = s[i]; j >= ts; -- j)
                pls(g[j], g[j-ts]);
    for(int i=1;i<=D0;++i) pre_g[i] = qm(pre_g[i-1] + g[i]);
    
    int Cs = 0, Ss = 0;
    memset(F, 0, sizeof F), F[0][0] = 1;
    memset(G, 0, sizeof G);
    for(int ct = 1; ct <= c; ++ ct)
        if(city_hate[ct]) {
            Cs += city_sum[ct], Cs = min(Cs, C0);
            for(int i=0;i<=Cs;++i)
            for(int j=0;j<=Ss;++j) G[i][j] = F[i][j];
            
            for(int a=1;a<=n;++a)
                if(b[a] == ct and ~hate[a]) {
                    const int t = s[a];
                    Ss += t, Ss = min(Ss, D0);
                    if(hate[a] == 1)
                        for(int i=0;i<=Cs;++i) {
                            for(int j=Ss;j>=t;--j) F[i][j] = F[i][j-t];
                            for(int j=t-1;~j;--j) F[i][j] = 0;
                        }
                    if(hate[a] >= 2)
                        for(int i=0;i<=Cs;++i)
                        for(int j=Ss;j>=t;--j) pls(F[i][j], F[i][j-t]);
                    if(hate[a] == 3)
                        for(int i=0;i<=Cs;++i) {
                            for(int j=Ss;j>=t;--j) G[i][j] = G[i][j-t];
                            for(int j=t-1;~j;--j) G[i][j] = 0;
                        }
                    if(hate[a] <= 1)
                        for(int i=0;i<=Cs;++i)
                        for(int j=Ss;j>=t;--j) pls(G[i][j], G[i][j-t]);
                }
            for(int j=0,t=city_sum[ct];j<=Ss;++j) {
                for(int i=Cs;i>=t;--i) F[i][j] = F[i-t][j];
                for(int i=t-1;~i;--i) F[i][j] = 0;
            }
            for(int i=0;i<=Cs;++i)
            for(int j=0;j<=Ss;++j)
                pls(F[i][j], G[i][j]);
        }
    
    int res = 0;
    for(int i=0;i<=Cs;++i)
    for(int j=0;j<=Ss;++j) {
        int l1 = max(0, ALL - C1 - i), r1 = C0 - i; if(l1 > r1) continue;
        int l2 = max(0, ALL - D1 - j), r2 = D0 - j; if(l2 > r2) continue;
        int vf = pre_f[r1]; if(l1) vf += p - pre_f[l1-1];
        int vg = pre_g[r2]; if(l2) vg += p - pre_g[l2-1];
        pls(res, (ll)vf * vg%p * F[i][j]%p);
    }
    printf("%d\n", res);
}

int main() {
    int T; read(T);
    while(T--) work();
    return 0;
}