算法 -- 异或运算符

 

参考：http://longcxm.iteye.com/blog/1461543

　　　http://www.41443.com/HTML/Java/20150131/309079.html

　　　http://www.cnblogs.com/suoloveyou/archive/2012/04/25/2470292.html

在java程序里面的异或用法： 

相同输出0，不一样输出1，例如： 
System.out.println(1^1); 输出0 
System.out.println(1^2)；输出3，由于最后2个低位都不同，全部输出3 

    异域的概念是相同为0不一样为1.若是两个数值异或后的值相同，异或前可能不一样。 
好比二进制：0010^0001=0011 而0000^0011=0011。 异或要慎用。 


    已到有意思的题目：不少成对出现数字保存在磁盘文件中，注意成对的数字不必定是相邻的，如2, 3, 4, 3, 4, 2……，因为意外有一个数字消失了，如何尽快的找到是哪一个数字消失了？ 

   因为有一个数字消失了，那一定有一个数只出现一次并且其它数字都出现了偶数次。用搜索来作就不必了，利用异或运算的两个特性——1.本身与本身异或结果为0，2.异或知足 
交换律。 

public static int findLost(int a[]){ 
        int result=0; 
        for(int i=0;i<a.length;i++) { 
            result^=a[i]; 
        } 
        return result; 
} 

那么若是：如今变成存在2个不同的数字？

假设成x，y，那么能够O(n)求出x^y，由于x,y不一样，因此异或的结果不为0，当作2进制数，那么找到第一位为1 的位置，将这个位置设置为划分点，数组里全部这个位置为1 的异或一次，全部为0的再异或一次，最终求出的两个即为两个独特的数字。

其实，我有个疑问？为何多个不一样的数字进行异或能去除重复的数字，通过搜索，原来还要根据异或运算的性质来讲

 

异或是一种基于二进制的位运算，用符号XOR或者 ^ 表示，其运算法则是对运算符两侧数的每个二进制位，同值取0，异值取1。它与布尔运算的区别在于，当运算符两侧均为1时，布尔运算的结果为1，异或运算的结果为0。

简单理解就是不进位加法，如1+1=0，,0+0=0,1+0=1。

性质

一、交换律

二、结合律（即(a^b)^c == a^(b^c)）

三、对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x

四、自反性 A XOR B XOR B = A xor  0 = A

异或运算最多见于多项式除法，不过它最重要的性质仍是自反性：A XOR B XOR B = A，即对给定的数A，用一样的运算因子（B）做两次异或运算后仍获得A自己。这是一个神奇的性质，利用这个性质，能够得到许多有趣的应用。 例如，全部的程序教科书都会向初学者指出，要交换两个变量的值，必需要引入一个中间变量。但若是使用异或，就能够节约一个变量的存储空间： 设有A,B两个变量，存储的值分别为a，b，则如下三行表达式将互换他们的值 表达式 （值） ：

 A=A XOR B (a XOR b)

 B=B XOR A (b XOR a XOR b = a) 

 A=A XOR B (a XOR b XOR a = b)

 相似地，该运算还能够应用在加密，数据传输，校验等等许多领域。

运用距离：

1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有惟一的一个元素值重复，其它均只出现
一次。每一个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空
间，可否设计一个算法实现？

解法1、显然已经有人提出了一个比较精彩的解法，将全部数加起来，减去1+2+...+1000的和。
这个算法已经足够完美了，相信出题者的标准答案也就是这个算法，惟一的问题是，若是数列过大，则可能会致使溢出。
解法2、异或就没有这个问题，而且性能更好。
将全部的数所有异或，获得的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，获得的结果就是重复数。

可是这个算法虽然很简单，但证实起来并非一件容易的事情。这与异或运算的几个特性有关系。
首先是异或运算知足交换律、结合律。
因此，1^2^...^n^...^n^...^1000，不管这两个n出如今什么位置，均可以转换成为1^2^...^1000^(n^n)的形式。

其次，对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x。
因此 1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000（即序列中除了n的全部数的异或）。

令，1^2^...^1000（序列中不包含n）的结果为T
则1^2^...^1000（序列中包含n）的结果就是T^n。
T^(T^n)=n。
因此，将全部的数所有异或，获得的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，获得的结果就是重复数。

固然有人会说，1+2+...+1000的结果有高斯定律能够快速计算，但实际上1^2^...^1000的结果也是有规律的，算法比高斯定律还该简单的多。

 

google面试题的变形：一个数组存放若干整数，一个数出现奇数次，其他数均出现偶数次，找出这个出现奇数次的数？