网络流模板

网络流，顾名思义，是求网络中的流量。
这里的教程比较容易理解

主要性质：

• 容量限制 任何边的流量不能超过其流量。
• 斜对称 显然，若一条边的流量为w，即从u->v流量为w，可以看作是从v->u流量为-w。
• 流量守恒 网络中除原点，汇点以外，任何节点不储存流。这个也比较容易说明，因为如果某一时刻某个中间节点储存了流，则下一时刻它会储存更多。最后储存满了，这些满的流量不能流向汇点，就浪费了。

（lyd：网络流模型可以形象的描述为：在不超过流量限制的前提下，“流”从原点不断产生，流经整个网络，最终全部归于汇点。）

Edmonds-Karp算法

增广路：如果一条从起点到终点的路径上剩余流量都大于零，则最大流可以加上这条边流量的瓶颈，即这条路径上的最小剩余流量。EK的思想就是不断寻找增广路，直到找不到增广路为止。

具体实现：每次用BFS寻找增广路，若找到了，则将这条路径上的所有边减少增加的流量，还要把其反向边的流量增加相同的数值，重复上述过程，直到找不到增广路。

为什么要增加反向边的流量？因为算法不能保证每次找到的都是最优解。而构建反向边，则给了程序一个“反悔”的机会。在构建反向边后，如果另一条增广路需要经过已经寻找到增广路上的边，而这条边已经没有剩余流量了，就可以让原来的那条增广路走另一条路，这样又可以拓展出一条增广路。

如图，若 $A->E->F->D$A−>E−>F−>D是一条增广路，当寻找从 $C$C点的增广路时可以把 $A$A点的部分流量导到B点，即A的流量就变成了 $A->E->F->D$A−>E−>F−>D和 $A->E->B$A−>E−>B两条。再拓展 $C->F->D$C−>F−>D这条路，就使得答案增加了。这一操作其实就等价于反向边上增加流量，因为反向边上增加多少，正向边就减少多少。