Coding the Matrix (3)：矩阵

 

1. 矩阵与映射

矩阵和映射包含两方面的关系：

1. 简单：已知矩阵 M， 从向量 x 映射到 M * x. (注：矩阵与行向量的点乘）

2. 稍微复杂：已知映射 x ->M * x, 求矩阵 M。

第一种状况直接运算就能够获得映射，就不详细写了，着重写第二种状况。

首先，假设 x 为 n 维行向量， M*x 为 m 维列向量，能够知道 M 是 m × n 大小的矩阵。在点乘里面，M 的列向量是基向量， x 向量的每一个份量是线性组合的系数，M 矩阵能够写成：

怎么求出 v1, v2, ..., vn 向量呢？利用基向量带入便可获得：

例一 ：将一张图片向右拉伸两倍，即 (x, y) 变为了 (2x, y), 它的变换矩阵能够这样求：

求得的变换矩阵就是 M = (v1, v2)

例二 ：将一张图片逆时针旋转 90 度，变换矩阵 M 能够这样求：

求得的变换矩阵也是 M = (v1, v2)

一样，将图像旋转 theta 角度和平移操做 (translation) 也能够用这个方法求出变换矩阵。

根据上述方法虽然能够求出图像平移的变换矩阵，可是若是咱们将 [0, 0] 左边进行变换，发现原点仍是在原点，并无平移，结果显然是错误的，这是什么缘由呢？这里就不得不说一说线性映射了。

 

2. 线性映射

线性映射须要知足两个条件：

首先，左乘矩阵确定是一个线性映射。考虑上面的例子，图像伸缩、旋转都符合两个条件，而图像平移不符合，所以不是线性映射，不存在变换矩阵。更进一步，何时才是一一映射呢？当矩阵 M 是一个满秩矩阵，此时 M 可逆，该映射是一个 one-to-one and onto 的线性映射。