Johnson全源最短路

例题：P5905 【模板】Johnson 全源最短路

首先考虑求全源最短路的几种方法：

• Floyd：时间复杂度\(O(n^3)\)，能够处理负权边，但不能处理负环，并且速度很慢。
• Bellman-Ford：以每一个点为源点作一次Bellman-Ford，时间复杂度\(O(n^2m)\)，能够处理负权边，能够处理负环，但好像比Floyd还慢？
• dijkstra：以每一个点为源点作一次dijkstra，时间复杂度\(O(nmlogm)\)，不能处理负权边，但比前面两个快多了。

好像……只有dijkstra还有但愿？但负权边处理不了真是很棘手啊。

一种方法是让每条边都加上一个数\(x\)使得边权为正，但考虑下图：

\(1\)到\(2\)的最短路应为：\(1 -> 3 -> 4 -> 2\)，长度为\(-1\)。若是咱们把每条边的边权都加上\(5\)：

此时的最短路是：\(1 -> 5 -> 2\)，就不是实际的最短路了，因此这种方法行不通

注：经本人研究，应该是两条路径进过的边的数量不一样而致使的

接下来，就该 Johnson 登场啦！Johnson 其实就是用另外一种方法标记边权啦。

首先来看看实现方法：咱们新建一个虚拟结点（不妨设他的编号为0），由他向其余的全部结点都连一条边权为\(0\)的边，而后求0号节点为源点的单源最短路，存到一个\(h\)数组中。而后，让每条边的权值\(w\)变为\(w+h_u-h_v\)，这里\(u\)和\(v\)分别为这条边的起点和终点。而后再以每一个点为源点作 dijkstra 就OK了。

Q：那这么说，Dijkstra 也能够求出负权图（无负环）的单源最短路径了？
A：没错。可是预处理要跑一遍 Bellman-Ford，还不如直接用 Bellman-Ford 呢。

如何证实这是正确的呢？

首先，从\(s\)到\(t\)的路径中随便取出一条：

\[s -> p_1 -> p_2 -> \cdots -> p_k -> t \]

则这条路径的长度为：

\[(w_{s,p_1}+h_s-h_{p_1})+(w_{p_1,p_2}+h_{p_1}-h_{p_2})+\dots+(w_{p_k,t}+h_{p_k}-h_t) \]

简化后获得：

\[w_{s,p_1}+w_{p_1,p_2}+\cdots+w_{p_k,t}+h_s-h_t \]

能够发现，无论走哪条路径，最后都是\(+h_s-h_t\)，而\(h_s\)和\(h_t\)又是不变的，因此最终获得的最短路径仍是原来的最短路径。

到这里已经证实一半了，接下来要证实获得的边权非负，必需要无负权边才能使 dijkstra 跑出来的结果正确。根据三角形不等式（就是那个三角形里任意两条边的长度之和大于等于另外一条边的长度），新图上的任意一条边\((u,v)\)上的两点知足：\(h_v \le w_{u,v}+h_u\)，则新边的边权\(w_{u,v}+h_u-h_v \ge 0\)。因此新图的边权非负。

正确性证实就是这个亚子。

代码实现（注意处理精度问题，该开ll的时候开ll）：

#include<cstdio>
#include<queue>
#define MAXN 5005
#define MAXM 10005
#define INF 1e9
using namespace std;
int n,m;
int vis[MAXN];
long long h[MAXN],dis[MAXN];
bool f[MAXN];
struct graph
{
	int tot;
	int hd[MAXN];
	int nxt[MAXM],to[MAXM],dt[MAXM];
	void add(int x,int y,int w)
	{
		tot++;
		nxt[tot]=hd[x];
		hd[x]=tot;
		to[tot]=y;
		dt[tot]=w;
		return ;
	}
}g;//链式前向星
bool SPFA(int s)//这里用了Bellman-Ford的队列优化
{
	queue<int>q;
	for(int i=1;i<=n;++i) h[i]=INF,f[i]=false;
	h[s]=0;
	f[s]=true;
	q.push(s);
	while(!q.empty())
	{
		int xx=q.front();
		q.pop();
		f[xx]=false;
		for(int i=g.hd[xx];i;i=g.nxt[i])
			if(h[g.to[i]]>h[xx]+g.dt[i])
			{
				h[g.to[i]]=h[xx]+g.dt[i];
				if(!f[g.to[i]])
				{
					if(++vis[g.to[i]]>=n) return false;//注意在有重边的状况下要记录入队次数而不是松弛次数
					f[g.to[i]]=true,q.push(g.to[i]);
				}
			}
	}
	return true;
}
void dijkstra(int s)
{
	priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > q;
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF,f[i]=false;
	q.push(make_pair(0,s));
	dis[s]=0;
	while(!q.empty())
	{
		int xx=q.top().second;
		q.pop();
		if(!f[xx])
		{
			f[xx]=true;
			for(int i=g.hd[xx];i;i=g.nxt[i])
				if(dis[g.to[i]]>dis[xx]+g.dt[i])
				{
					dis[g.to[i]]=dis[xx]+g.dt[i];
					if(!f[g.to[i]])
						q.push(make_pair(dis[g.to[i]],g.to[i]));
				}
		}
	}
	return ;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		g.add(u,v,w);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) g.add(0,i,0);//建虚拟节点0而且往其余的点都连一条边权为0的边
	if(!SPFA(0))//求h的同时也判了负环
	{
		printf("-1");
		return 0;
	}
	for(int u=1;u<=n;u++)
		for(int i=g.hd[u];i;i=g.nxt[i])
			g.dt[i]+=h[u]-h[g.to[i]];//求新边的边权
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dijkstra(i);//以每一个点为源点作一遍dijkstra
		long long ans=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)//记录答案
			if(dis[j]==INF) ans+=1ll*j*INF;
			else ans+=1ll*j*(dis[j]+(h[j]-h[i]));
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

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