一文入门：XGBoost与手推二阶导

做者前言

在2020年还在整理XGB的算法，其实已经有点过期了。。不过，主要是为了学习算法嘛。如今的大数据竞赛，XGB基本上已经全面被LGB模型取代了，这里主要是学习一下Boost算法。以前已经在其余博文中介绍了Adaboost算法和Gradient-boost算法，这篇文章讲解一下XGBoost。

Adaboost和XGBoost无关，可是Gradient-boost与XGBoost有必定关系。
一文搞懂：Adaboost及手推算法案例
一文读懂：GBDT梯度提高

树模型概述

XGB就是Extreme Gradient Boosting极限梯度提高模型。XGB简单的说是一组分类和回归树（CART）的组合。跟GBDT和Adaboost都有殊途同归之处。
【CART=classification adn regression trees】

这里对于一个决策树，如何分裂，如何选择最优的分割点，其实就是一个搜索的过程。搜索怎么分裂，才能让目标函数最小。目标函数以下：
\(Obj = Loss + \Omega\)
\(Obj\)就是咱们要最小化的优化函数，\(Loss\)就是这个CART模型的预测结果和真实值得损失。\(\Omega\)就是这个CART模型的复杂度,相似神经网络中的正则项。
【上面的公式就是一个抽象的概念。咱们要知道的是：CART树模型即要求预测尽量准确，又要求树模型不能过于复杂。】

对于回归问题，咱们能够用均方差来做为Loss：
\(Loss=\sum_i{(y_i-\hat{y_i})^2}\)

对于分类问题，用交叉熵是很是常见的,这里用二值交叉熵做为例子：
\(Loss = \sum_i{(y_ilog(\hat{y_i})+(1-y_i)log(\hat{y_i}))}\)

总之，这个Loss就是衡量模型预测准确度的损失。

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下面看一下如何计算这个模型复杂度\(\Omega\)吧。
\(\Omega = \gamma T+\frac{1}{2} \lambda \sum^T_j{w_j}^2\)

\(T\)表示叶子节点的数量，\(w_j\)表示每一个叶子节点上的权重（与叶子节点的样本数量成正比）。

【这里有点麻烦的在于，\(w_j\)是与每一个叶子节点的样本数量成正比，可是并不是是样本数量。这个\(w_j\)的求取，要依靠与对整个目标函数求导数，而后找到每一个叶子节点的权重值\(w_j\)。】

XGB vs GBDT

其实说了这么多，感受XGB和GDBT好像区别不大啊？下面整理一下网上有的说法，再加上本身的理解。有错误请指出评论，谢谢！

区别1：自带正则项

GDBT中，只是让新的弱分类器来拟合负梯度，那拟合多少棵树才算好呢？不知道。XGB的优化函数中，有一个\(\Omega\)复杂度。这个复杂度不是某一课CART的复杂度，而是XGB中全部CART的总复杂度。可想而知，每多一颗CART，这个复杂度就会增长他的惩罚力度，当损失降低小于复杂度上升的时候，XGB就中止了。

区别2：有二阶导数信息

GBDT中新的CART拟合的是负梯度，也就是一阶导数。而在XGB会考虑二阶导数的信息。

这里简单推导一下XGB如何用上二阶导数的信息的：

1. 以前咱们获得了XGB的优化函数：
   \(Obj = Loss + \Omega\)

2. 而后咱们把Loss和Omega写的更具体一点：
   \(Obj = \sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}+\sum_j^t{\Omega(cart_j)}\)

   • \(\hat{y_i^t}\)表示总共有t个CART弱分类器，而后t个弱分类器给出样本i的估计值就。
   • \(y_i\)第i个样本的真实值；
   • \(\Omega(cart_j)\)第j个CART模型的复杂度。

3. 咱们如今要求取第t个CART模型的优化函数，因此目前咱们只是知道前面t-1的模型。因此咱们获得：
   \(\hat{y}_i^t = \hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i)\)
   t个CART模型的预测，等于前面t-1个CART模型的预测加上第t个模型的预测。

4. 因此能够获得：
   \(\sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}=\sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))}\)
   这里考虑一下特勒展开：
   \(f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x + \frac{1}{2} f''(x)\Delta x^2\)

5. 如何把泰勒公式带入呢？
   \({Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}\)中的\(y_i\)其实就是常数，不是变量
   因此其实这个是能够当作\(Loss(\hat{y}_i^t)\),也就是:
   \(Loss(\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))\)

6. 带入泰勒公式，把\(f_t(x_i)\)当作\(\Delta x\)：
   \(Loss(\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))=Loss(\hat{y}_i^{t-1})+Loss'(\hat{y}_i^{t-1})f_t(x_i)+\frac{1}{2}Loss''(\hat{y}_i^{t-1})(f_t(x_i))^2\)

   • 在不少的文章中，会用\(g_i=Loss'(\hat{y}_i^{t-1})\),以及\(h_i=Loss''(\hat{y}_i^{t-1})\)来表示函数的一阶导数和二阶导数。

7. 把泰勒展开的东西带回到最开始的优化函数中，删除掉常数项\(Loss(\hat{y}_i^{t-1})\)(这个与第t个CART模型无关呀)以及前面t-1个模型的复杂度，能够获得第t个CART的优化函数：
   \(Obj^t \approx \sum_i^n{[g_i f_t(x_i)+\frac{1}{2}h_i(f_t(x_i))^2}]+{\Omega(cart_t)}\)

【因此XGB用到了二阶导数的信息，而GBDT只用了一阶的梯度】

区别3：列抽样

XGB借鉴了随机森林的作法，不只仅支持样本抽样，还支持特征抽样（列抽样），不只能够下降过拟合，还能够减小计算。

区别4：缺失值

XGB能够自适应的处理样本中的缺失值。如何处理的这里就再也不讲述。

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