本系列文章将于2021年整理出版,书名《算法竞赛专题解析》。
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任何一个正整数
均可以惟一分解为有限个素数的乘积:
,其中
都是正整数,
都是素数且从小到大。
质因数分解有重要工程意义。在密码学中,须要对高达百位以上的十进制数分解质因子,所以发明了不少高效率的方法1。不过,大数的质因子分解是个难题,比寻找大素数要可贵多,密码算法RSA就利用了大数难以分解的原理。web
分解质因子也能够用前面提到的试除法。求
的质因子:
(1)第一步,求最小质因子
。逐个检查从2到
的全部素数,若是它能整除n,就是最小质因子。而后连续用
除
,目的是去掉
中的
,获得
。
(2)第二步,再找
的最小质因子。逐个检查从
到
的全部素数。从
开始试除,是由于
没有比
小的素因子,并且
的因子也是
的因子。
(3)继续以上步骤,直到找到全部质因子。
最后,通过去除因子的操做后,若是剩下一个大于1的数,那么它也是一个素数,是
的最大质因子。这种状况能够用一个例子说明。大于
的素数也多是
的质因子,例如6119 = 29*211,找到29后,由于29 ≥
,说明211是素数,也是质因子。
试除法的复杂度是
,效率很低。不过,在算法竞赛中,数据规模不大,因此通常就用试除法。
下面是试除法的代码2。由于试除法的效率不高,因此
用int型,没有用long long。算法
int p[20]; //p[]记录因子,p[1]是最小因子。一个int数的质因子最多有10几个 int c[40]; //c[i]记录第i个因子的个数。一个因子的个数最多有30几个 void factorization(int n){ int m = 0; for(int i = 2; i*i <= n; i++) if(n%i == 0){ p[++m] = i, c[m] = 0; while(n%i == 0) //把n中重复的因子去掉 n/=i, c[m]++; } if(n>1) //没有被除尽,是素数 p[++m] = n, c[m] = 1; }
试除法的复杂度是 ,也就是说,对到 的整数进行试除,能够彻底得到到 的任意数的因子分解;用本节的pollard_rho算法,用一样的工做量,能够对到 的数进行因子分解3。须要指出的是,pollard_rho算法也仍然是一种低效的方法,比试除法好一点点,只能在算法竞赛的小规模数据中用用。app
思考一个问题:如何快速找到一个大数的因子?不能像试除法那样从小到大一个个检查,太慢了。能够挑一些数来“试”,运气好说不定就碰到一个。这就是pollard_rho算法的思路,它使用了一个“随机”的方法来找。算法的主要内容只有2个:
(1)“随机”函数。实际上不是随机,而是一个启发函数:
,其中
的初值
和
是随机数。计算的结果是生成了一个
序列,这个序列的前一部分
不重复,后面的
会重复并造成回路。rho指希腊字母"
",不重复的序列是
的“尾巴”,重复的回路是
的“身体”。ide
(2)计算
的一个因子。计算
,其中y是第
个
,即第一、二、四、八、…个,见上图中划线的
。若是d ≠ 1且d ≠ n,d就是n的一个因子,缘由很简单,gcd是求最大公约数,因此d确定是n的因子。
从上面的描述能够看出,pollard_rho算法极为简单,读者可能怀疑它是否真的有效。确实,在一次
序列中,极可能计算不出因子,须要屡次“随机”的
序列才能算出一个因子。使人惊讶的是,这个算法的效果还不错,它能够用
次计算找到
的一个小因子
。
pollard_rho的编码很是简单,见下面代码中的pollard_rho()函数。因为执行一次pollard_rho()只返回一个因子,要获得全部的因子,须要再写一个findfac()函数屡次调用pollard_rho(),递归求得全部素因子。svg
//poj 1811题:输入一个整数n,2<=N<2^54,判断它是否为素数,若是不是,输出最小素因子。 typedef long long ll; ll Gcd (ll a,ll b){ return b? Gcd(b, a%b):a;} ll pollard_rho (ll n){ //返回一个因子,不必定是素因子 ll i=1, k=2; ll c = rand()%(n-1)+1; ll x = rand()%n; ll y = x; while (true){ i++; x = (mult_mod(x,x,n)+c) % n; //mult_mod(x,x,n)功能是(x*x) mod n ll d = Gcd(y>x?y-x:x-y, n); //重要:保证gcd的数大于等于0 if (d!=1 && d!=n) return d; //算出一个因子 if (y==x) return n; //已经出现过,直接返回 if (i==k) { y=x; k=k<<1;} } } void findfac (ll n){ //找全部的素因子 if (miller_rabin(n)) { //用miller_rabin判断是否为素数 factor[tol++] = n; //存素因子 return; } ll p = n; while (p>=n) p = pollard_rho(p); //找到一个因子 findfac(p); //继续寻找更小的因子 findfac(n/p); }