谢启鸿谈“如何学好高等代数”

高等代数和数学分析、空间解析几何一块儿，并称为数学系本科生的三大基础课。所谓基础课，顾名思义，就是本科四年学习的全部数学课程，都是以上述三门课做为基础的。所以对一年级新生而言，学好这三门基础课，其重要性不言而喻。另外一方面，从高中阶段的“初等数学”过渡到大学阶段的“高等数学”，中间须要一个思惟转变和理解进阶的过程。这个过程延续的时间可长可短，彻底取决于我的的能力和努力。所以，如何经过学好这三门基础课，尽快跨越这个转变过程，对一年级新生而言，其意义更加剧大。

本人从2009年2月至2010年1月担任高等代数习题课教师，从2010年2月至今一直担任高等代数主讲教师，已教过复旦大学数学科学学院08级--18级共11届本科生。在本文中，我将经过本身在教学中的切身体会，与你们分享学好高等代数的一些经验和方法。

1、将三门基础课做为一个总体去学，摒弃孤立的学习，提倡综合的思考

恩格斯曾经说过：“数学是研究数和形的科学。”这位先哲对数学的这一律括，从现代数学的发展来看，已经远远不够准确了，但这一律括却点明了数学最本质的研究对象，即为“数”与“形”。好比说，从“数”的研究衍生出数论、代数、函数、方程等数学分支；从“形”的研究衍生出几何、拓扑等数学分支。20世纪以来，这些传统的数学分支相互渗透、相互交叉，造成了现代数学最前沿的研究方向，好比说，代数数论、解析数论、代数几何、微分几何、代数拓扑、微分拓扑等等。能够说，现代数学正朝着各类数学分支相互融合的方向继续蓬勃地发展下去。

数学分析、高等代数、空间解析几何这三门基础课，刚好是数学最重要的三个分支--分析、代数、几何的最重要的基础课程。根据课程的特色，每门课程的学习方法固然各不相同，可是若是不能以一种总体的眼光去学习和思考，即便每门课都得了A，也不见得就学的很好。学院的资深教授曾向咱们抱怨：“有的问题只要画个图，想想就作出来了，怎么如今的学生作题，拿来就只知道死算，连个图也不画一下。”固然，形成这种不足的缘由确定是多方面的。好比说，从教的角度来看，各门课程的教材或授课在某种程度上过于强调自身的特色，不多以总体的眼光去讲授课程或处理问题，课程之间的相互联系也涉及的较少；从学的角度来看，学生们大都处于孤立学习的状态，也就是说，孤立在某门课程中学习这门课程，缺少对多门课程的总体把握和综合思考。

根据个人经验，将高等代数和空间解析几何做为一个总体去学，效果确定比单独学好，由于高等代数中最核心的概念是“线性空间”，这是一个几何对象；并且高等代数中的不少内容都是空间解析几何天然的延续和推广。另外，高等代数中还有不少分析方面的技巧，好比说“摄动法”，它是一种分析的方法，可让咱们把问题从通常矩阵化到非异矩阵的情形。所以，要学好高等代数，首先要跳出高等代数，将三门基础课做为一个总体去学，摒弃孤立的学习，提倡综合的思考。

2、正确认识代数学的特色，在抽象和具体之间找到结合点

代数学（包括高等代数和抽象代数）给人的印象就是“抽象”，这与另外两门基础课有很大的不一样。以“线性空间”的定义为例，集合V上定义了加法和数乘两种运算，而且这两种运算知足八条性质，那么V就称为线性空间。我想第一次学高等代数的同窗都会认为这个定义太抽象了。其实在高等代数中，这样抽象的定义比比皆是。不过这样的抽象是有意义的，由于咱们能够验证三维欧氏空间、连续函数全体、多项式全体、矩阵全体都是线性空间，也就是说，线性空间是从许多具体例子中抽象出来的概念，具备绝对的通常性。代数学的研究方法是，从许多具体的例子中抽象出某个概念；而后经过代数的方法对这一律念进行研究，获得通常的结论；最后再将这些结论返回到具体的例子中，获得各类运用。所以，“具体-->抽象-->具体”，这即是代数学的特色。

在认识了代数学的特色后，就能够有的放矢地学习高等代数了。咱们能够经过具体的例子去理解抽象的定义和证实；咱们能够将定理的结论运用到具体的例子中，从而加深对定理的理解和掌握；咱们还能够经过具体例子的启发，去发现和证实一些新的结果。所以，要学好高等代数，就须要正确认识抽象和具体的辩证关系，在抽象和具体之间找到结合点。

3、高等代数不只要学代数，也要学几何，更要在代数和几何之间创建一座桥梁

随着时代的变迁，高等代数的教学内容和方式也在不断的发展。大概在90年代以前，国内高校的高等代数教材大多以“矩阵论”做为中心，比较强调矩阵论的相关技巧；90年代以后，国内高校的高等代数教材渐渐地改变为以“线性空间理论”做为中心，比较强调几何的意义。做为缩影，复旦的高等代数教材也经历了这样一个变化过程，1993年以前采用的屠伯埙老师的教材强调“矩阵论”；1993年以后采用的姚慕生老师的教材强调“线性空间理论”。从单纯重视“代数”到“代数”与“几何”并重，这实际上是高等代数教学观念的一种全球性的改变，可能这种改变与现代数学的发展密切相关吧！

学好高等代数的有效方法应该是：深刻理解几何意义、熟练掌握代数方法。

首先，高等代数中许多抽象的概念都有具体的几何背景。所以，理解几何意义、利用几何直观，将有助于咱们更好的理解高等代数中抽象的定义和定理。好比说，当面对“行列式”、“矩阵”和“线性方程组的解”等代数概念的时候，咱们应该好好想想，它们的几何意义到底是什么呢？

其次，高等代数中不少问题都是几何的问题，咱们常常将几何的问题代数化，而后用代数的方法去解决它。固然，对于一些代数的问题，咱们有时也将其几何化，而后用几何的方法去解决它。

最后，代数和几何之间存在一座桥梁，这就是代数和几何之间的转换语言。有了这座桥梁，咱们就能够在代数和几何之间来去自由、游刃有余。所以，要学好高等代数，不只要学代数，也要学几何，更要在代数和几何之间创建一座桥梁。

4、学好教材，用好教辅，练好基本功

复旦现行的高等代数教材是姚慕生老师、吴泉水老师和本人编著的《高等代数学（第三版）》。这本教材从90年代开始沿用至今，已有20多年的历史。教材内容翔实、重点突出、表述清晰、习题丰富，即便与全国各高校的高等代数教材相比，也不失为出类拔萃之做。

复旦现行的高等代数学习指导书是姚慕生老师和本人编著的《高等代数学习方法指导（第三版）》（由于封面为白色，被学生称为“白皮书”）。这本学习指导书是数院本科生必备的宝典，基本上人手一册，风行程度可见一斑。

要学好高等代数，学好教材是最低的要求。另外，如何用好学习指导书，也是一个重要的环节。不少同窗购买学习指导书，主要是由于教材里的大部分习题（除了计算题和一些简单的证实题外）均可以在学习指导书上找到答案。固然，这一点无可厚非，毕竟这就是学习指导书的功能嘛！可是，我仍是但愿一年级的新生能正确地使用学习指导书，遇到问题首先要本身独立思考，实在想不出，再去看懂学习指导书上的解答，这样才能达到提升能力、锻炼思惟的效果。注意：既不独立思考，又不看懂学习指导书上的解答，只是抄袭，这对本身来讲是一种极不负责的行为，但愿你们努力避免！

最后，我愿以华罗庚先生的一句诗“勤能补拙是良训，一份辛勤一份才”与你们共勉，祝你们不断进步、学业有成！