小波多分辨率分析框架

咱们知道，小波分析实际上就是将信号分解为“粗略”的和“精细”的两部分。其中“粗略”部分变化缓慢，获取“粗略”成分可理解为低通滤波；相应的，获取“精细”成分可理解为高通滤波。

为了能将这种分解一级级继续下去，咱们须要定义一个子空间序列$V_j$知足以下条件：

（嵌套性）$V_j\subset V_{j+1}$

（稠密性）$\overline{\cup{V_j}}=L^2 (R)$

（分立性）$\cap{V_j}={0}$

（尺度性）$f(x)\in V_j \Longleftrightarrow f(2^{-j}x) \in V_0$

（标准正交基）存在函数$\phi \in V_0$，$\{\phi (x-k); k\in Z\}$是$V_0$的标准正交基

从实用角度看，最有用的一类尺度函数是有限支撑的，但这并非一个理论上的限制。

知足上述条件的空间序列$\{V_j; j\in Z\}$和相应的函数$\phi$称为依尺度函数$\phi$的多分辨率分析。

 

定理1. 设$\{V_j, j\in Z\}$是一个依尺度函数$\phi$的多分辨率分析，那么对任一$j \in Z$，函数集

$\{\phi_{jk} (x) = 2^{j/2} \phi(2^j x-k); k \in Z\}$

是$V_j$的一个标准正交基。

证实思路：考虑利用尺度特性证实$ V_j $中的函数能够写成$\{\phi (2^{-j} x - k); k\in Z\}$的线性组合。而后直接利用标准正交的定义证实$\{ \phi_{jk}; k \in Z \}$是标准正交的。

 

定理2. （双尺度关系定理）设$\{V_j, j\in Z\}$是一个依尺度函数$\phi$的多分辨率分析，有下列尺度关系成立：

$\phi (x) = \sum\limits_{k\in Z} p_k \phi(2x-k)$，$p_k = 2 \int_{-\infty}^{\infty} \phi(x) \overline{\phi(2x-k)}dx$

进一步，有$\phi_{j-1,l}=2^{-1/2}\sum\limits_k p_{k-2l} \phi_{jk}$

注意有的教材会将$p_k$规范化，此时公式前面的系数有相应的改变。

解释与证实思路：考虑到空间的嵌套性与前述定理，$\phi(x)$老是能够写成$\phi(2x)$及其移位的线性组合。每一个线性项的系数是$\phi(x)$在空间$\{V_1\}$的标准正交基上的投影。将$x$替换为$2^{j-l}x-l$可证得进一步结论。对进一步结论也能够从直观上看：基函数及其移位函数$\phi(2^j x - k)$保持不变，但将各系数移位成$p_{k-2l}$，累加就获得移位后的函数$\phi_{j-1,l}$。由于$V_j$与$V_{j-1}$是包含与被包含的关系，因此进一步结论的等号两端移位长度分别为$l$和$2l$。

 

Parseval恒等式

令V是一个复内积空间，其标准正交基为$\{ u_k \}$。若$f\in V, g\in V$，$f$和$g$的表示式以下：

$f=\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k u_k$

$g=\sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k u_k$

那么

$\langle f,g \rangle = \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \overline{b_k}$

 

定理3. 设$\{V_j; j \in Z\}$是一个依尺度函数$\phi$的多分辨率分析，$p_k$如前述定理。则下列等式成立：

1. $\sum\limits_{k\in Z} p_{k-2l} \overline{p_k} = 2 \delta_{l0}$

2. $\sum\limits_{k\in Z} |p_k|^2=2$

3. $\sum\limits_{k\in Z} p_k = 2$

4. $\sum\limits_{k\in Z} p_{2k}=1$，$\sum\limits_{k\in Z} p_{2k+1} = 1$

解释与证实思路：式1的证实利用前述Parseval恒等式和$\{ \phi(x-k) \}$标准正交便可。而后令$l=0$获得式2。其他等式的证实参考教科书。

 

定理4. 设$\{V_j; j \in Z\}$是一个依尺度函数$\phi$的多分辨率分析，且$\phi=\sum\limits_k p_k \phi (2x-k)$。令$\psi(x)=\sum\limits_{k\in Z} (-1)^k \overline{p_{1-k} \phi(2x-k)}$，那么$W_j \subset V_{j+1}$是$V_{j+1}$中$V_j$的正交补，且$\{\psi_{jk}(x)=2^{j/2}\psi(2^jx-k), k\in Z\}$是$W_j$的一个标准正交基。

解释与证实思路：若是将$p_k$看作是低通滤波系数，分解后的信号在$\phi(x)$支撑区间内比原信号要“平滑”，那么相应的高通滤波系数须要更加“剧烈抖动”且是原滤波器的“彻底补”。经过将系数乘上$(-1)^k$并逆序以达到这种效果。$p$的下标倒序为$1-k$还使得$\langle \phi, \psi \rangle$在运算时能够将$p_mp_n$两两抵消最终达到正交的效果。

 

定理5. 小波函数集$\{\psi_{jk}\}$是$L^2(R)$的一个标准正交基。

 

分解与重构：

在获得$\phi_{jk}$与$\phi_{j-1,k}$与$\psi_{j-1,k}$的关系以后，咱们能够进一步考虑信号的分解与重构。

若$f$是$V_j$中的函数，咱们有：$f=\sum\limits_{k \in Z} \langle f, \phi_{jk} \rangle \phi_{jk}  $

分解：

$f=\sum\limits_{k\in Z} \langle f, \phi_{j-1,k} \rangle \phi_{j-1,k} + \sum\limits_{k\in Z} \langle f, \psi_{j-1,k} \rangle \psi_{j-1,k} $

$\langle f, \phi_{j-1,l} \rangle = 2^{-1/2} \sum\limits_{k \in Z} \overline{p_{k-2l}} \langle f, \phi_{jk} \rangle $

$\langle f, \psi_{j-1,l} \rangle = 2^{-1/2} \sum\limits_{k \in Z} (-1)^k p_{1-k+2l} \langle f, \phi_{jk} \rangle $

重构：

$\langle f, \phi_{jk} \rangle = 2^{-1/2}\sum\limits_{l \in Z} p_{k-2l} \langle f, \phi_{j-1,l} \rangle + 2^{-1/2}\sum\limits_{l \in Z} (-1)^k \overline{p_{1-k+2l}} \langle f, \psi_{j-1,l} \rangle $

解释与证实思路：

利用Parseval恒等式和尺度关系。