剑指Offer（Java版）：圆圈中最后剩下的数字

题目：0，1，，，，，n-1这n 个数字排成一个圆圈，从数字0开始每次从这个圆圈中删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0，1，2，3，4这5个数字组成的一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前四个数字依次是2，0，4，1所以最后剩下的数字是3.

本题就是著名的约瑟夫环的问题。咱们介绍两种方法：一种方法是用环形链表模拟圆圈的经典解法，第二种方法是分析每次被删除的数字的规律并直接计算出圆圈中最后剩下的数字。

 

经典的解法，用环形链表模拟圆圈：

既然题目中有一个数字圆圈，很天然的想法就是用个数据结构来模拟这个圆圈。在经常使用的数据结构中，咱们很容易的想到环形链表。咱们能够建立一个共有n个结点的环形链表，而后每次都从这个链表中删除第m个结点。

咱们发现使用环形链表里重复遍历不少遍。重复遍历固然对时间效率有负 面的影响。这种方法每删除一个数字须要m步运算，总共有n个数字，所以总的时间复杂度为O(mn)。同时这种思路还须要一个辅助的链表来模拟圆圈，其空间 复杂度O(n）。接下来咱们试着找到每次被删除的数字有哪些规律，但愿可以找到更加高效的算法。

 

package cglib;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class jiekou {

    public void lastRemaining(int totalNum,int index){  
        //初始化人数  
        List<Integer> start = new ArrayList<Integer>();  
        for(int i = 0;i< totalNum;i++){  
            start.add(i);  
        }  
        //从第k个开始计数  
        int k = 0;  
        while(start.size() > 0){  //0,1,2,3,4;0,1,3,4;1,3,4;1,3;3
            k = k+ index;  // 3,要删除元素的位置
            //第m我的的索引位置  
            k = k %(start.size()) -1;  //3%5-1=3-1=2
            //判断是否到队尾  
            if(k < 0){  
                System.out.println(start.get(start.size()-1));  
                start.remove(start.size()-1);  
                k = 0;  
            }else{  
                System.out.println(start.get(k));  
                start.remove(k);  
            }  
        }  
    }  
    public static void main(String[] args){  
        jiekou test = new jiekou();  
        test.lastRemaining(5, 3);  
    }  
    }

 

输出：

2
0
4
1
3

 

 

创新的解法，拿到Offer不在话下：

首先咱们定义一个关于n和m的方程f(n,m)，表示每次在n个数字0，1，。。。n-1中每次删除第m个数字最后剩下的数字。

在这n个数字中，第一个被删除的数字是（m-1)%n.为了简单起 见，咱们把（m-1)%n记为k，那么删除k以后剩下的n-1个数字为0，1，。。。。k-1，k+1,.....n-1。而且下一次删除从数字 k+1,......n-1,0,1,....k-1。该序列最后剩下的数字也应该是关于n和m的函数。因为这个序列的规律和前面最初的序列不同（最初 的序列是从0开始的连续序列），所以该函数不一样于前面的函数，即为f'(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字f(n,m)必定是删除一个数字以后的序列 最后剩下的数字，即f(n,m)=f'(n-1,m).

接下来我么把剩下的这n-1个数字的序列k+1,....n-1，0，1，,,,,,,k-1作一个映射，映射的结果是造成一个从0到n-2的序列

k+1        ------>     0

k+2      --------->    1

。。。。

n-1      -----    > n-k-2

0         ------->    n-k-1

1       --------->    n-k

.....

k-1   --------->    n-k

咱们把映射定义为p，则p(x) = (x-k-1)%n。它表示若是映射前的数字是x,那么映射后的数字是（x-k-1)%n.该映射的逆映射是p-1(x)= (x+k+1)%n.

因为映射以后的序列和最初的序列具备一样的形式，即都是从0开始的连 续序列，所以仍然能够用函数f来表示，记为f(n-1,m).根据咱们的映射规则，映射以前的序列中最后剩下的数字f'(n-1,m) = p-1[(n-1,m)] = [f(n-1,m)+k+1]%n ,把k= (m-1)%n代入f(n,m) = f'(n-1,m) =[f(n-1,m)+m]%n.

通过上面的复杂的分析，咱们终于找到一个递归的公示。要获得n个数字的序列中最后剩下的数字，只须要获得n-1个数字的序列和最后剩下的数字，并以此类推。当n-1时，也就是序列中开始只有一个数字0，那么很显然最后剩下的数字就是0.咱们把这种关系表示为：

用代码实现以下所示：

package cglib;

public class jiekou {

    public static void main(String[] args) {
        jiekou p=new jiekou();
        System.out.println(p.lastRemaining(3, 2));//0,1,2;0,2;2
        }
        public int lastRemaining(int n,int m){
        if(n<1||m<1)
        return -1;
        int fn=0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            fn=(fn+m)%i;
        }
        return fn;  
        }
    }

输出：2

 

这种算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。所以不管在时间效率和空间效率上都优于第一个方法。