OierBBS文章推荐 #2 - 「笔记」线性基
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做者： @"Suzt_ilymtics"#38 node
推荐时间：2021年8月13日ios
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概念
线性基是向量空间的一组基，一般能够解决有关异或的一些题目。-Oi-wiki
线性基就是一个有着特殊性质的集合，在处理某些状况下的异或问题有着意想不到的效果。算法
假设咱们用 p 数组来存线性基。segmentfault
线性基能够由给出的一组元素相互异或而来。数组
而 p_i 中的元素表示该元素二进制下 1 的最高位是第 i 位。ui
性质
- 线性基具备普通集合所具备的性质，即肯定性、互异性、无序性。
- 线性基中每一个元素的最高位不一样。（根据
p数组定义比较显然。） - 线性基中没有异或和为
0的子集。（每一个元素的最高位不一样，异或起来最高位必定不会为0。） - 线性基中任意多元素的异或和的值域等于原集合中任意多元素的异或和的值域。
- 线性基在知足上一个条件的状况下，所包含元素个数是最少的。
- 线性基中不一样的元素异或出来的值是不一样的。
构造
通常状况下都是在二进制下进行。url
假设插入一个元素为 x 。spa
- 从高位向低位判断，直到遇到该元素某位上为
1，设该位为i。 - 而后判断
p_i是否有值，若是没有把x存到p_i中，不然将x与p_i异或而后重复上面的操做。（将x与p_i异或后x的最高位上的1就没了，至于变成了啥也无所谓了）
把全部元素都插入后，咱们就获得了这组元素的线性基。
这样构造的线性基知足它该有的全部性质，p_i 数组也符合定义。
Code：
void Insert(int k) {
for(int i = Max; i >= 0; --i) { // Max 表示二进制最高位
if(!(k & (1ll << i))) continue;
if(!p[i]) { p[i] = k; return ; }
k ^= p[i];
}
}
线性基的插入和下面的几个操做复杂度都是 O(\log n) 的。
操做
求最大值
给你一堆元素，挑几个异或起来，是他们的值最大，输出最大值。
咱们先用这组元素构造出线性基。而后贪心的进行选择，选高位的确定比低位的要更优。
因此咱们从高位向低位遍历，若是异或上 p_i 更优就异或。最后的结果就是要求的最大值。
为何能直接用？线性基的元素都是经过已知的元素异或而来，确定是正确的。
Code:
int Query() {
int res = 0;
for(int i = Max; i >= 0; --i) res = max(res, res^p[i]);
return res;
求一个数是否能被表示出来
把这个数扔到线性基里跑一边就行。
每次挑这个数的最高位进行异或，都能把最高位消掉。
若是最后这个数为 0 ，说明该数能够被表示出。
线性基合并
把一个线性基的每一个元素插入另一个线性基便可。
查找严格次大值
先找到最大值，而后从低位向高位枚举，而后找到二者都为一的异或上, 而后退出便可。
广义线性基
以前咱们只是把线性基简单化了，线性基最初是应用到向量里的。
这道题思路和[P4570 [BJWC2011]元素](https://www.luogu.com.cn/prob...挺像的。
只不过这道题把整数换成了向量。向量中的每一个元素就至关于原来的每一个二进制位。
咱们能够把 n 个装备看做 n 个 m 维的向量。
如 k = ( a_1, a_2, a_3, ... , a_m )
大致思路是同样的，结合高斯消元来构造。
emm看代码会更直观一点，感受我口胡的并非很清楚。
/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<string>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
const double lim = 1e-5; // lim 防止因精度损失而引起错误
int n, m, cnt = 0;
int sum = 0;
struct Vector { // 这里把全部向量存到告终构体里方便使用
int cost;
double a[520]; // a 数组存向量的每一个元素的值
Vector () { for(int i = 1; i <= m; ++i) a[i] = 0; }
bool operator < (const Vector &b) const { return cost < b.cost; }
Vector operator + (const Vector b) {
Vector res;
for(int i = 1; i <= m; ++i) res.a[i] = a[i] + b.a[i];
return res;
}
Vector operator - (const Vector b) {
Vector res;
for(int i = 1; i <= m; ++i) res.a[i] = a[i] - b.a[i];
return res;
}
Vector operator * (const double b) {
Vector res;
for(int i = 1; i <= m; ++i) res.a[i] = a[i] * b;
return res;
}
}ep[520]; // 存读入的每一个向量
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
namespace Lb {
Vector p[520];
bool Insert(Vector k) {
for(int i = m; i >= 1; --i) { // 从左向右依次遍历每一个向量中的元素，这里的遍历顺序已再也不重要
if(abs(k.a[i]) < lim) continue; // 若是插入向量的当前元素无值就跳过
if(abs(p[i].a[i]) < lim) { p[i] = k; return true; } // 若是线性基中“最高位”向量中没有值，就插入。
double t = k.a[i] / p[i].a[i]; // 算出系数
k = k - p[i] * t; // 进行消元
}
return false;
}
}
int main()
{
n = read(), m = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= m; ++j)
scanf("%lf", &ep[i].a[j]); // 读入 n 个 向量
for(int i = 1; i <= n; ++i) ep[i].cost = read(); // 读入每一个向量的花费，类比元素那道题
sort(ep + 1, ep + n + 1); // 按照花费从小到大排序贪心
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
if(Lb::Insert(ep[i])) { // 判断可否插入
++ cnt; // 计数
sum += ep[i].cost; // 记录花费
}
}
printf("%d %d", cnt, sum);
return 0;
}
例题
P3812【模板】线性基
板子题，求最大值。
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑题
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能过)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define int long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
const int bit = 50;
int n, p[55];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
void Insert(int k) {
for(int i = bit; i >= 0; --i) {
if(!(k & (1ll << i))) continue;
if(!p[i]) { p[i] = k; return ; }
k ^= p[i];
}
}
int Maxxor() {
int res = 0;
for(int i = bit; i >= 0; --i) res = max(res, (res ^ p[i]));
return res;
}
signed main()
{
n = read();
while(n--) Insert(read());
printf("%lld", Maxxor());
return 0;
}
P3857 [TJOI2008]彩灯
搞出线性基，统计线性基中有几个元素，假设有 x 个，输出 2^ x \bmod 2008 便可。
由于假设咱们有 p_i 那么选与不选必定会决定第 i 位的是否为 1 ，那么有几个 p_i 咱们就能决定几位，答案也就是 2^ x 。
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑题
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能过)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define int long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 2008;
const int Max = 50;
char s[60];
int n, m, cnt = 0;
int p[60];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
void Insert(int k) {
for(int i = Max; i >= 0; --i) {
if(!(k & (1ll << i))) continue;
if(!p[i]) { p[i] = k; return ;}
k ^= p[i];
}
}
signed main()
{
n = read(), m = read();
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
scanf("%s", s + 1); int x = 0;
for(int j = 1; j <= n; ++j) if(s[j] == 'O') x |= (1ll << (j - 1));
Insert(x);
}
for(int i = Max; i >= 0; --i) if(p[i]) cnt++;
printf("%lld\n", (1ll << cnt) % mod);
return 0;
}
P4570 [BJWC2011]元素
首先咱们知道
若是a \oplus b = c，那么a \oplus c = b, b \oplus c = a。
由前面推后面能够看作两边同时异或 a 或者 b。
假设 b_1 \oplus b_2 \oplus b_3 ... \oplus b_i = x ，x 比任何一个值都要大。
那么 x \oplus b_ 1 \oplus b_ 2 \oplus b_ 3 ... \oplus b_ {i-1} = b_ i。
为了得到更大价值，咱们能够按照价值从大到小排序，而后贪心的选择。
每次向线性基插入它的 number，若是能够插入就选择它。
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑题
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能过)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
struct node {
LL k, val;
bool operator < (const node &b) const { return val > b.val; }
}a[MAXN];
LL n, ans = 0;
LL read(){
LL s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
namespace Lb {
const LL Max = 60;
LL p[61];
bool Insert(LL k) {
for(LL i = Max; i >= 0; --i) {
if(!(k & (1ll << i))) continue;
if(!p[i]) { p[i] = k; return true; }
k ^= p[i];
}
return false;
}
}
int main()
{
n = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i].k = read(), a[i].val = read();
sort(a + 1, a + n + 1);
for(int i = 1; i <= n; ++i) if(Lb::Insert(a[i].k)) ans += a[i].val;
printf("%lld", ans);
return 0;
}
P4151 [WC2011]最大XOR和路径
乍一看没有思路。一开始觉得能够像上面那个题同样贪心的选择。
由于能够重复通过，因此路径就太多了。
假设咱们走到了 n 号点，咱们此时的异或和为 dis_n。
咱们想要知道有没有更优的选择，咱们假设往回走某条咱们没有通过的路径，若是咱们不能绕回来，也就是说没有环，那么在返回的途中还会再走一遍。众所周知 x \oplus x = 0。因此就至关于咱们啥也没干。
若是在走的途中绕了一个环，咱们从环的起点出发又回到了环的起点，环上的路径都只被走了一次，说明什么？咱们与环上的全部值异或了。
经过上面讨论不难发现，通常路径上的值不能选，环上的值可选可不选，那么咱们把一个环当作一个元素构建线性基，挑几个能让咱们的 dis_n 变得更优的与之异或。
dis_n 怎么求？随便找一条路径。
若是有更优的路径，那么它必定会与这条路径造成一个环，异或这个环，就会变成选择另外一条路径。
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑题
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能过)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
#define int long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
const int Max = 61;
struct edge { int to, w, nxt; }e[MAXN << 1];
int head[MAXN], num_edge = 1;
int n, m;
int p[66], dis[MAXN];
bool vis[MAXN];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
void add_edge(int from, int to, int w) { e[++num_edge] = (edge){to, w, head[from]}, head[from] = num_edge; }
void Insert(int k) {
for(int i = Max; i >= 0; --i) {
if(!(k & (1ll << i))) continue;
if(!p[i]) { p[i] = k; return ; }
k ^= p[i];
}
}
int Query(int res) {
for(int i = Max; i >= 0; --i) res = max(res, res ^ p[i]);
return res;
}
void dfs(int u, int sum) {
dis[u] = sum, vis[u] = true;
for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to;
if(!vis[v]) dfs(v, dis[u] ^ e[i].w);
else Insert(dis[u] ^ dis[v] ^ e[i].w);
}
}
signed main()
{
n = read(), m = read();
for(int i = 1, u, v, w; i <= m; ++i) {
u = read(), v = read(), w = read();
add_edge(u, v, w), add_edge(v, u, w);
}
dfs(1, 0);
printf("%lld\n", Query(dis[n]));
return 0;
}
P3292 [SCOI2016]幸运数字
把每一个点看作一个线性基而后树剖便可。
询问时把每段区间的线性基合并求最大值便可。
总复杂度 O(n \log ^ 4n)。
代码写的比较丑，须要吸氧才能过。
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑题
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能过)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 2e4+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
struct edge {
int to, nxt;
}e[MAXN << 1];
int head[MAXN], num_edge = 1;
int n, Q, cnt = 0;
LL a[MAXN];
int dep[MAXN], fath[MAXN], siz[MAXN], son[MAXN], top[MAXN], dfn[MAXN], pre[MAXN];
LL read(){
LL s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
void add_edge(int from, int to) { e[++num_edge] = (edge){to, head[from]}, head[from] = num_edge; }
namespace Seg {
#define lson i << 1
#define rson i << 1 | 1
struct Tree {
LL p[66];
Tree () { memset(p, false, sizeof p); }
void Insert(LL k) {
for(int i = 60; i >= 0; --i) {
if(!(k & (1ll << i))) continue;
if(!p[i]) { p[i] = k; return ; }
k ^= p[i];
}
}
LL Query() {
LL res = 0;
for(int i = 60; i >= 0; --i) res = max(res, res ^ p[i]);
return res;
}
}tree[MAXN << 2];
void Push_up(int i) {
tree[i] = tree[lson];
for(int j = 60; j >= 0; --j) if(tree[rson].p[j]) tree[i].Insert(tree[rson].p[j]);
}
void hb(Tree *x, Tree y) { for(int i = 60; i >= 0; --i) if(y.p[i]) x->Insert(y.p[i]); }
void Build(int i, int l, int r) {
if(l == r) {
tree[i].Insert(a[pre[l]]);
return ;
}
int mid = (l + r) >> 1;
Build(lson, l, mid), Build(rson, mid + 1, r);
Push_up(i);
}
Tree Query(int i, int l, int r, int L, int R) {
if(L <= l && r <= R) return tree[i];
Tree ans;
int mid = (l + r) >> 1;
if(mid >= L) ans = Query(lson, l, mid, L, R);
if(mid < R) hb(&ans, Query(rson, mid + 1, r, L, R));
return ans;
}
}
namespace Cut {
void dfs(int u, int fa) {
dep[u] = dep[fa] + 1, fath[u] = fa, siz[u] = 1;
for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to;
if(v == fa) continue;
dfs(v, u);
siz[u] += siz[v];
if(siz[son[u]] < siz[v]) son[u] = v;
}
}
void dfs2(int u, int tp) {
top[u] = tp, dfn[u] = ++ cnt, pre[cnt] = u;
if(son[u]) dfs2(son[u], tp);
for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to;
if(v == fath[u] || v == son[u]) continue;
dfs2(v, v);
}
}
Seg::Tree Query(int x, int y) {
Seg::Tree ans;
while(top[x] != top[y]) {
if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y);
Seg::hb(&ans, Seg::Query(1, 1, n, dfn[top[x]], dfn[x]));
x = fath[top[x]];
}
if(dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
Seg::hb(&ans, Seg::Query(1, 1, n, dfn[x], dfn[y]));
return ans;
}
}
signed main()
{
n = read(), Q = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
for(int i = 1, u, v; i < n; ++i) u = read(), v = read(), add_edge(u, v), add_edge(v, u);
Cut::dfs(1, 0), Cut::dfs2(1, 1), Seg::Build(1, 1, n);
for(int i = 1, u, v; i <= Q; ++i) {
u = read(), v = read();
Seg::Tree ans = Cut::Query(u, v);
printf("%lld\n", ans.Query());
}
return 0;
}
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