PAT甲级 堆 相关题_C++题解

堆

目录

• 《算法笔记》重点摘要
• 1147 Heaps (30)
• 1155 Heap Paths (30)

《算法笔记》 9.7 堆 重点摘要

1. 定义

堆是彻底二叉树，树中每一个结点的值不小于（或不大于）其左右子结点的值，称之为大顶堆（或小顶堆）

const int maxn = 100;
int heap[maxn], n = 10; // heap 为堆，n 为元素个数

2. 向下调整

// 对 heap 数组在 [low,high] 范围进行向下调整
// 其中 low 为欲调整结点的数组下标， high 通常为堆的最后一个元素的数组下标
void downAdjust(int low, int high){
    int i = low, j = i * 2; // i 为欲调整结点，j 为其左子结点
    while (j <= high){  // 存在子结点时进行循环
        if (j + 1 <= high && heap[j+1] > heap[j)    // 若右子结点存在且值大于左子结点
            j = j + 1;
        if (heap[j] > heap[i]){ // 若子结点中最大的值比欲调整结点 i 的值大
            swap(heap[j], heap[i]);
            i = j;
            j = i * 2;
            // 保持 i 为欲调整结点，j 为其左子结点
        }
        else break;
    }
}

3. 建堆

• 彻底二叉树叶子结点数为 ceil(n/2)
• 数组下标在 [1,floor(n/2)] 内均为非叶子节点
• 从 floor(n/2) 开始倒着枚举结点，对每一个结点 i 进行 [i,n] 范围调整
• 保证每一个节点都是以其为根结点的子树中值最大的结点

void createHeap(){
    for (int i = n / 2; i >= 1; i--)
        downAdjust(i,n);
}

4. 删除堆顶元素

用最后一个元素覆盖堆顶元素，再对根结点进行调整

void deleteTop(){
    heap[1] == heap[n--];   // 覆盖后元素个数 --
    downAdjust(1,n);
}

5. 向上调整

// 对 heap 数组在 [low,high] 范围进行向上调整
// 其中 low 通常设置为 1， high 为欲调整结点的数组下标
void upAdjust(int low, int high){
    int i = high, j = i / 2;    // i 为欲调整结点，j 为其父结点
    while (j >= low){   // 父结点在 [low,high] 范围内
        if (heap[j] < heap[i]){   // 父结点值小于欲调整结点值
            swap(heap[j],heap[i]);
            i = j;
            j = i / 2;
            // 保持i 为欲调整结点，j 为其父结点
        }
        else break;
    }
}

6. 添加元素

void insert(int x){
    heap[++n] = x;
    upAdjust(1,n);
}

7. 堆排序

• 倒着遍历数组
• 访问到 i 位置时，将堆顶元素与 i 位置元素交换，则 i 位置固定为 [1,i] 最大值
• 在 [1,i-1] 范围对堆顶元素进行向下调整

void heapSort(){
    createHeap();
    for (int i = n; i > 1; i++){
        swap(heap[i], heap[1]);
        downAdjust(1, i-1);
    }
}

8. 递推判断堆类型方法

bool isMax = true, isMin = true;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (tree[i/2] > tree[i]) isMin = false;
    if (tree[i/2] < tree[i]) isMax = false;
}
printf("%s\n", isMax ? "Max Heap" : isMin ? "Min Heap" : "Not Heap");

1147 Heaps (30)

题目思路

• 递推 判断堆类型，两个变量分别记录是否符合大顶堆 / 小顶堆
• 递归 保存后序遍历序列，按要求输出，注意每检查一个新的堆要将保存后序序列的容器清空 post.clear()

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int n;
vector<int> tree, post;
void postorder(int index){
    if (index > n) return;
    postorder(index * 2);
    postorder(index * 2 + 1);
    post.push_back(tree[index]);
}
int main()
{
    int m, data;
    scanf("%d%d", &m, &n);
    tree.resize(n+1);
    for (int i = 0; i < m; i++){
        for (int j = 1; j < n + 1; j++) scanf("%d", &tree[j]);
        bool isMax = true, isMin = true;
        for (int j = 2; j < n + 1; j++){
            if (tree[j/2] > tree[j]) isMin = false;
            if (tree[j/2] < tree[j]) isMax = false;
        }
        printf("%s\n", isMax ? "Max Heap" : isMin ? "Min Heap" : "Not Heap");
        post.clear();
        postorder(1);
        for (int j = 0; j < post.size(); j++)
            printf("%d%c", post[j], j + 1 == post.size() ? '\n' : ' ');
    }
    return 0;
}

1155 Heap Paths (30)

题目思路

• DFS 递归 输出路径
  • 终止条件：到叶结点(2 * index > n)，输出路径
  • 进入下一层条件：下一层的子结点存在
  • 即递归确认下一个结点存在时才进入，能进入递归的都是存在非越界的结点，因此经过其子结点越界判断到叶结点，输出到此结点的路径
• 递归 判断是什么堆
  • 每进入一个非根节点的结点，就判断它与父结点的大小关系
  • 不符合大顶堆或小顶堆的就将对应变量置 false，符合要求的没有机会被置 false
  • 最后根据变量输出判断结果

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int n, tree[1001];;
bool isMax = true, isMin = true;
vector<int> path;
void DFS(int index){
    if (index > 1){
        if (tree[index] > tree[index/2]) isMax = false;
        if (tree[index] < tree[index/2]) isMin = false;
    }
    if (2 * index > n){
        for (int i = 0; i < path.size(); i++)
            printf("%d%c", tree[path[i]], i == path.size()-1 ? '\n' : ' ');
        return;
    }
    if (2 * index + 1 <= n){
        path.push_back(2 * index + 1);
        DFS(2 * index + 1);
        path.pop_back();
    }
    path.push_back(2 * index);
    DFS(2 * index);
    path.pop_back();
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &tree[i+1]);
    path.push_back(1);
    DFS(1);
    printf("%s\n", isMax ? "Max Heap" : isMin ? "Min Heap" : "Not Heap");
    return 0;
}