几何经常使用算法与判断线段相交【转】

下面这个函数在我写的计算几何库函数里面有，那个库能够在http://algorithm.126.com/的资源中心   -   代码角   找到。         

  算法简单说明：    

  首先判断以两条线段为对角线的矩形是否相交，若是不相交两条线段确定也不相交。 

（所谓以a1b2为对角钱的矩形就是以两边长为|a1.x – b2.x|和|a1.y – b2.y|以及a1b2为对角线的矩形）。 

若是相交的话，利用矢量叉乘判断两条线段是否相互跨越，若是相互跨越显然就相交，反之则不相交。算法不难，可是一些特殊状况须要考虑到，好比两条相段共线且在断点处相交。下面的代码通过测试了，应该没有bug，若是你真的发现了bug请告诉我：）         

  /********************************************************   * *        * 返回(P1-P0)*(P2-P0)的叉积。 *    

    * 若结果为正，则<P0,P1>在<P0,P2>的顺时针方向； *        * 若为0则<P0,P1><P0,P2>共线； *    

    * 若为负则<P0,P1>在<P0,P2>的在逆时针方向; *        * 能够根据这个函数肯定两条线段在交点处的转向, *    

    * 好比肯定p0p1和p1p2在p1处是左转仍是右转，只要     *    

    *               求(p2-p0)*(p1-p0)，若<0则左转，>0则右转，=0则   *    

    *               共线                                                                                     *        * *    

  \********************************************************/         

  float   multiply(TPoint   p1,TPoint   p2,TPoint   p0)      {    

  return((p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y));      }                   

  //肯定两条线段是否相交    

  int   intersect(TLineSeg   u,TLineSeg   v)      {    

   return(   (max(u.a.x,u.b.x)>=min(v.a.x,v.b.x))&& 

                      (max(v.a.x,v.b.x)>=min(u.a.x,u.b.x))&& 

                          (max(u.a.y,u.b.y)>=min(v.a.y,v.b.y))&&    

                (max(v.a.y,v.b.y)>=min(u.a.y,u.b.y))&&  （以两线段为对角线的矩形是否相交）                      (multiply(v.a,u.b,u.a)*multiply(u.b,v.b,u.a)>=0)&&    

                         (multiply(u.a,v.b,v.a)*multiply(v.b,u.b,v.a)>=0));（是否相互跨立）      }    

 

忘记了说明TPoint和TLineSeg的定义了：

 struct   TPoint   {      float   x,y;      };         

 

  struct   TLineSeg   {      TPoint   a,b;      };    

上面的算法避免了除法运算，因此不会出现计算偏差  

NOwcan兄的方法虽然简单，可是求两条直线的交点须要用到除法，当两条线段相交可是很接近平行的时候，会有精度上的偏差，因此个人方法不用除法更好一点。这是计算几何中的经典算法   

计算几何经常使用算法(一共23个)         

  1.   矢量减法         

  设二维矢量   P   =   （x1,y1）   ，Q   =   (x2,y2)      

  则矢量减法定义为：   P   -   Q   =   (   x1   -   x2   ,   y1   -   y2   )      显然有性质   P   -   Q   =   -   (   Q   -   P   )    

  如不加说明，下面全部的点都看做矢量，两点的减法就是矢量相减；         

  2.矢量叉积         

  设矢量P   =   （x1,y1）   ，Q   =   (x2,y2)    

  则矢量叉积定义为：     P   ×   Q   =   x1*y2   -   x2*y1       获得的是一个标量    

  显然有性质   P   ×   Q   =   -   (   Q   ×   P   )       P   ×   (   -   Q   )   =   -   (   P   ×   Q   )      如不加说明，下面全部的点都看做矢量，点的乘法看做矢量叉积；      叉乘的重要性质：    

    >   若   P   ×   Q     >   0   ,     则P   在Q的顺时针方向        >   若   P   ×   Q     <   0   ,     则P   在Q的逆时针方向    

    >   若   P   ×   Q     =   0   ,     则P   与Q共线，但可能同向也可能反向         

  3.判断点在线段上         

  设点为Q，线段为P1P2   ，判断点Q在该线段上的依据是：      (   Q   -   P1   )   ×   (   P2   -   P1   )   =   0  =>   共线    且   Q   在以   P1，P2为对角顶点的矩形内         

  4.判断两线段是否相交         

  咱们分两步肯定两条线段是否相交：      (1)． 快速排斥试验    

  设以线段   P1P2   为对角线的矩形为R，   设以线段   Q1Q2   为对角线的矩形为T，若是R和T不相交，显然两线段不会相交；      (2)． 跨立试验    

  若是两线段相交，则两线段必然相互跨立对方，如图1所示。在图1中，P1P2跨立Q1Q2   ，则矢量   (   P1   -   Q1   )   和

 

(   P2   -   Q1   )位于矢量(   Q2   -   Q1   )   的两侧，即    

  (   P1   -   Q1   )   ×   (   Q2   -   Q1   )     *     (   P2   -   Q1   )   ×   (   Q2   -   Q1   )     <     0      上式可改写成    

  (   P1   -   Q1   )   ×   (   Q2   -   Q1   )     *     (   Q2   -   Q1   )   ×   (   P2   -   Q1   )     >     0      当   (   P1   -   Q1   )   ×   (   Q2   -   Q1   )   =   0   时，说明   (   P1   -   Q1   )   和   (   Q2   -   Q1   )共线，可是由于已经经过快速排斥试验，因此   P1   必定在线段   Q1Q2上；同理，(   Q2   -   Q1   )   ×(   P2   -   Q1   )     =   0   说明   P2   必定在线段   Q1Q2上。      因此判断P1P2跨立Q1Q2的依据是：    

  (   P1   -   Q1   )   ×   (   Q2   -   Q1   )     *     (   Q2   -   Q1   )   ×   (   P2   -   Q1   )     ≥     0      同理判断Q1Q2跨立P1P2的依据是：    

  (   Q1   -   P1   )   ×   (   P2   -   P1   )     *     (   P2   -   P1   )   ×   (   Q2   -   P1   )     ≥     0      至此已经彻底解决判断线段是否相交的问题。         

  5.判断线段和直线是否相交         

  若是线段   P1P2和直线Q1Q2相交，则P1P2跨立Q1Q2，即：    

  (   P1   -   Q1   )   ×   (   Q2   -   Q1   )     *     (   Q2   -   Q1   )   ×   (   P2   -   Q1   )     ≥     0         

  6.判断矩形是否包含点         

  只要判断该点的横坐标和纵坐标是否夹在矩形的左右边和上下边之间。      判断线段、折线、多边形是否在矩形中    

  由于矩形是个凸集，因此只要判断全部端点是否都在矩形中就能够了。         

  7.判断矩形是否在矩形中         

  只要比较左右边界和上下边界就能够了。（左右边界相互包含且上下边界相互包含）         

  8.判断圆是否在矩形中         

  圆在矩形中的充要条件是：圆心在矩形中且圆的半径小于等于圆心到矩形四边的距离的最小值。         

 

  9.判断点是否在多边形中         

  以点P为端点，向左方做射线L，因为多边形是有界的，因此射线L的左端必定在多边形外，考虑沿着L从无穷远处开始自左向右移动，遇到和多边形的第一个交点的时候，进入到了多边形的内部，遇到第二个交点的时候，离开了多边形，……因此很容易看出当L和多边形的交点数目C是奇数的时候，P在多边形内，是偶数的话P在多边形外。    

  可是有些特殊状况要加以考虑。若是L和多边形的顶点相交，有些状况下交点只能计算一个，有些状况下交点不该被计算（你本身画个图就明白了）；若是L和多边形的一条边重合，这条边应该被忽略不计。为了统一块儿见，咱们在计算射线L和多边形的交点的时候，1。对于多边形的水平边不做考虑；2。对于多边形的顶点和L相交的状况，若是该顶点是其所属的边上纵坐标较大的顶点，则计数，不然忽略；3。对于P在多边形边上的情形，直接可判断P属于多边行。由此得出算法的伪代码以下：         

  1.   count   ←   0;    

  2.   以P为端点，做从右向左的射线L;        

  3,   for   多边形的每条边s      

 4.       do   if   P在边s上        

  5.                     then   return   true;     

  6.             if   s不是水平的    

  7.                     then   if   s的一个端点在L上且该端点是s两端点中纵坐标较大的端点      

 9.                                     then   count   ←   count+1     

 10.                             else   if   s和L相交    

  11.                                   then   count   ←   count+1;      

 12.   if   count   mod   2   =   1       

 13.       then   return   true      

 14.       else   return   false;              

  其中作射线L的方法是：设P'的纵坐标和P相同，横坐标为正无穷大（很大的一个正数），则P和P'就肯定了射线L。这个算法的复杂度为O(n)。         

 

  10.判断线段是否在多边形内         

  线段在多边形内的一个必要条件是线段的两个端点都在多边形内；    

  若是线段和多边形的某条边内交（两线段内交是指两线段相交且交点不在两线段的端点），由于多边形的边的左右两侧分属多边形内外不一样部分，因此线段必定会有一部分在多边形外。因而咱们获得线段在多边形内的第二个必要条件：线段和多边形的全部边都不内交；    

  线段和多边形交于线段的两端点并不会影响线段是否在多边形内；可是若是多边形的某个顶点和线段相交，还必须判断两相邻交点之间的线段是否包含与多边形内部。所以咱们能够先求出全部和线段相交的多边形的顶点，而后按照X-Y坐标排序，这样相邻的两个点就是在线段上相邻的两交点，若是任意相邻两点的中点也在多边形内，则该线段必定在多边形内。证实以下：      命题1：    

  若是线段和多边形的两相邻交点P1   ，P2的中点P'   也在多边形内，则P1,   P2之间的全部点都在多边形内。      证实：    

  假设P1,P2之间含有不在多边形内的点，不妨设该点为Q，在P1,   P'之间，由于多边形是闭合曲线，因此其内外部之间有界，而P1属于多边行内部，Q属于多边性外部，P'属于多边性内部，P1-Q-P'彻底连续，因此P1Q和QP'必定跨越多边形的边界，所以在P1,P'之间至少还有两个该线段和多边形的交点，这和P1P2是相邻两交点矛盾，故命题成立。证毕      由命题1直接可得出推论：      推论2：    

  设多边形和线段PQ的交点依次为P1,P2,……Pn，其中Pi和Pi+1是相邻两交点，线段PQ在多边形内的充要条件是：P，Q在多边形内且对于i   =1,   2,……,   n-1，Pi   ,Pi+1的中点也在多边形内。         

  在实际编程中，没有必要计算全部的交点，首先应判断线段和多边形的边是否内交，假若线段和多边形的某条边内交则线段必定在多边形外；若是线段和多边形的每一条边都不内交，则线段和多边形的交点必定是线段的端点或者多边形的顶点，只要判断点是否在线段上就能够了。      至此咱们得出算法以下：         

  1.   if   线端PQ的端点不都在多边形内   

  2.       then   return   false;     

 3.   点集pointSet初始化为空;    

  4.   for   多边形的每条边s    

  5.       do   if   线段的某个端点在s上    

  6.                   then   将该端点加入pointSet;     

 7. else   if   s的某个端点在线段PQ上     

 8.       then 将该端点加入pointSet;    

  9. else   if   s和线段PQ相交 //   这时候能够确定是内交      

 10.       then return   false;    

  11.   将pointSet中的点按照X-Y坐标排序，X坐标小的排在前面，对于X坐标相同的点，Y坐标小的排在前面；      

 12.   for   pointSet中每两个相邻点   pointSet[i]   ,   pointSet[   i+1]     

 13.         do   if   pointSet[i]   ,   pointSet[   i+1]   的中点不在多边形中     

 14.                   then   return   false;      

 15.   return   true;         

  这个算法的复杂度也是O(n)。其中的排序由于交点数目确定远小于多边形的顶点数目n，因此最可能是常数级的复杂度，几乎能够忽略不计。   

      

  11.判断折线在多边形内         

  只要判断折线的每条线段是否都在多边形内便可。设折线有m条线段，多边形有n个顶点，则复杂度为O(m*n)。         

  12.判断多边形是否在多边形内    

  只要判断多边形的每条边是否都在多边形内便可。判断一个有m个顶点的多边形是否在一个有n个顶点的多边形内复杂度为O(m*n)。         

  13.判断矩形是否在多边形内         

  将矩形转化为多边形，而后再判断是否在多边形内。         

  14.判断圆是否在多边形内         

  只要计算圆心到多边形的每条边的最短距离，若是该距离大于等于圆半径则该圆在多边形内。计算圆心到多边形每条边最短距离的算法在后文阐述。         

  15.判断点是否在圆内         

  计算圆心到该点的距离，若是小于等于半径则该点在圆内。         

  16.判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内         

  由于圆是凸集，因此只要判断是否每一个顶点都在圆内便可。         

  17.判断圆是否在圆内         

  设两圆为O1,O2，半径分别为r1,   r2，要判断O2是否在O1内。先比较r1，r2的大小，若是r1<r2则O2不可能在O1内；