考研数学第四、五章复习：不定积分与定积分

时间 2021-08-15 标签数学考研复习

这一块应该说是基础中的基础了。我不想说太多，只把简要的重点的再强调一遍。

既然谈到不定积分，我们就无法避免提及原函数的概念。

原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I，都有F'(x)=f(x)。

简而言之：连续函数一定有原函数。这就是原函数存在定理。

另外只要一个函数有一个原函数，那么他就有无穷个元函数，他们之间只是差一个常数项！

呵呵，有的同学可能会问了，那你的原函数和不定积分有什么关系呢？？？

对啊，有什么关系呢！？同学！请注意看课本，看看不定积分的定义是什么！

定义：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)（或f(x)dx）在区间I上的不定积分，记做：∫f(x)dx，其中∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。

明白了么？也就是说，不定积分是一个原函数，那么是否可以说，没有原函数的函数没有不定积分呢？不定积分存在定理？？？

也就是说不连续的函数没有不定积分？？？

是的兄弟们！我们不要小看书本的力量，有很多细节其实你都忽略了，就比如这个。

明白了这个之后，你的第一反应应该是上网验证自己总结的对不对，恭喜你，是正确的，我都给你总结到下面的表里了：

不定积分与定积分的存在定理比较
不定积分	定积分
连续函数必有原函数，必有不定积分。	设f(x)在闭区间内连续，则在此区间必可积。
含有第一类间断点、无穷间断点的函数 f(x) 在包含该间断点的区间内必没有原函数 F(x)。	设f(x)在闭区间上有界，且只有有限个间断点，则在此闭区间上可积。

间断点这个东西，其实还是有大学问的。让我们回忆一下吧，间断点的各种类别。

待补充博文连接。。

函数f(x)的原函数的图形被称为f(x)的积分曲线。

定积分的值只与被积函数以及积分区间有关。

不说废话，继续进行。

定积分补充：

$\int_{a}^{a}f(x)dx=0$

$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$

不定积分和定积分的性质比较
不定积分	定积分
设函数f(x)和g(x)的原函数存在，则 ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx	$\int_{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \int_{a}^{b}f(x)dx+\beta \int_{a}^{b}f(x)dx$
设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则 ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx	定积分对于积分区间具有可加性，不管a、b、c的大小如何，都有 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$
	如果在区间[a,b]上，f(x)恒等于1，那么 $\int_{a}^{b}1dx=\int_{a}^{b}dx=(b-a)$
	如果在区间[a,b]上，f(x)>=0，那么(条件是是a<b哦) $\int_{a}^{b}f(x)dx>=0 (a<b)$ 推论1：如果在区间[a,b]上，f(x)<=g(x)那么 $\int_{a}^{b}f(x)dx<=\int_{a}^{b}g(x)dx$ 推论2： $\left \|\int_{a}^{b}f(x)dx \right \|<=\int_{a}^{b}\left \| f(x) \right \|dx (a<b)$
	设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值，最小值，则 $m(b-a)\leqslant \int_{a}^{b}f(x)dx\leqslant M(b-a)$
	定积分中值定理：如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，那么在[a,b]上至少存在一个点ξ使得下式成立：（积分中值公式） $\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)(a \leqslant \xi \leqslant b)$