数据结构 多路查找树 ---------B树和B+树的简单介绍

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本文为半原创，结合了 程序员小灰和本身的一些理解和总结，若有错误，请帮忙指出，感谢。
B树的简单介绍

前面咱们已经介绍了BST AVL树 BRT，那么，为何要B树和B+树呢？他们和以前介绍的三种树有何区别？
其实最明显的差别体如今多叉上，前面介绍的三种树都是二叉树。而B树和B+树是多路查找树，目的是优化磁盘访问的速度。以前介绍的三种树是索引树，节点直接的链接能够理解为指针，即每一个节点在磁盘中散列存储，像这样

想要访问红色节点，须要先访问绿色节点，根据绿色节点的左子树索引查找到红色节点位置，再访问红色节点。
咱们看下以前三种树的磁盘访问
假设访问以下的树的节点10

第一次访问

第二次访问

第三次访问

第四次访问

不难看出，一个节点的访问磁盘的次数取决于该节点在树上的高度。

所以，为了减小访问磁盘的次数，就必须下降树的高度，使树变得“矮胖”，而B树和B+树都具备矮胖的特色
B树的定义

一个m阶的B树具备以下几个特征：（m阶中的m能够理解为B树的分叉数，好比5阶B树最大分叉是5）

• 1.根结点至少有两个子女。
• 2.每一个中间节点包含k-1个元素和k个孩子，其中 m/2向上取整 <= k <= m
• 3.每个叶子节点包含k-1个元素，其中 m/2向上取整 <= k <= m
• 4.全部的叶子结点都位于同一层。
• 5.每一个节点中的元素从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域分划。
  实例

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这是一个B树

但实际上应该是这样的

每一个节点应该有n个数据域和n+1个指针域组成，叶子节点的指针域都为空。但为了做图简单，就不将指针域画出来了
实际m阶B树节点结构以下：

除了叶子节点，其他节点的指针域能够经过双亲节点或者孩子节点的索引看出来。

以节点2，6为例，咱们看到
1<2
2<3<5<6
6<8

B树的磁盘访问

以上面的树为例
第1次磁盘IO：

在内存中定位（和9比较）：

第2次磁盘IO：

在内存中定位（和2，6比较）：

第3次磁盘IO：

在内存中定位（和3，5比较）：

其实从图中能够看出，相同的数字，构建的平衡二叉树和B树的高度相差一。
从上面咱们看出
B树进行了三次IO访问和5次内存比较
平衡二叉树AVL树进行了4次IO访问和4次内存比较。
咱们知道，内存的访问速度是远远大于外存（IO）访问的速度的，所以，当m阶B树的m越大，单一节点的元素树越多，B树的高度就越低，IO访问的次数就越少。可是，也不是m越大越好，当m大到m个数据，外存一个磁盘页装不下就糟了。所以m是受磁盘页大小限制的
B树的插入和删除

B树也是一种自平衡树
插入分如下几种状况
1.能够直接插入的状况
2.插入后破环平衡（即破环B树的定义中的任意一个性质），须要进行分裂
删除
1.能够直接删除
2.直接删除后破环平衡，先向左右子树“借”节点
3.直接删除后破环平衡，左右子树“借”不到节点，合并子树
插入删除操做比较复杂，具体示例请参照参考连接

B树的应用

文件系统索引和部分非关系型数据库，如MongoDB。可是大多数关系型数据库使用B+树做为索引。那么B+树和B树相比有何优点呢？
提早透露一下，B+树适用于范围查找
B+树

定义

• 1.有k个子树的中间节点包含有k个元素（B树中是k-1个元素），每一个元素不保存数据，只用来索引，全部数据都保存在叶子节点。
• 2.全部的叶子结点中包含了所有元素的信息，及指向含这些元素记录的指针，且叶子结点自己依关键字的大小自小而大顺序连接。
• 3.全部的中间节点元素都同时存在于子节点，在子节点元素中是最大（或最小）元素。
  以下即是一个B+树
  
  能够看到：
  1 每个双亲节点的元素均会出如今孩子节点中，而且是子节点的最大（或最小）元素，也就是说，B+树存在重复元素。
  2 其次能够看到叶子节点用指针相连，造成一个链表。
  3 另外，要注意，在当前树中，根节点的15表明整棵树的最大元素，因此，对B+树作插入是，要保证最大元素一定在根节点出现过（若是双亲节点的元素均会出如今孩子节点中，而且是子节点的最小元素，则须要反过来）
  4 因为每一个双亲节点均在孩子节点出现，也就是说，叶子节点包含了所有节点（固然，还包括没有在双亲节点出现的元素）
  

B+树的查找

以前我看了B树查找的过程，那么在B+树中是如何查找元素3呢？

一共进行了3次IO
首先，因为B+树只有根节点存储了元素数据，因此必须查到叶子节点。其次因为非叶子节点只存储索引，因此能够存储的索引树更多，可以使得B+树的高度更低，IO次数更少。

相比于B树， B+树的优点

咱们看下B树的范围查找（3-11）

自顶向下，查找到范围的下限（3）–>中序遍历到元素6–>中序遍历到元素8–>中序遍历到元素9–>中序遍历到元素11，遍历结束

一样的元素构成的B+树的相同范围查找以下

自顶向下，查找到范围的下限（3）–>经过链表指针，遍历到元素6, 8–>经过链表指针，遍历到元素9, 11，遍历结束
因此说，相比于B树 B+树的优点有：

1.单一节点存储更多的元素，使得查询的IO次数更少。（单一节点存储更多的元素是由于B+的非叶子节点不存储数据，存的是索引）

2.全部查询都要查找到叶子节点，查询性能稳定。（一样是由于非叶子节点不存储数据，数据只有叶子节点有）

3.全部叶子节点造成有序链表，便于范围查询。

二叉搜索树 平衡二叉树 红黑树 B树 B+树的简单对比

	简称	特色	平衡性	查找性能	插入	删除	优点	应用
二叉搜索树	BST	索引树，因为构建不稳定，查找效率不稳定	无	不稳定，跟具体构建树相关，最好O(logn)，最差O（N）	直接插入	删除的是叶子节点或只有左或右子树比较简单，如同时存在左右子树，那么要找到前驱或后继代替原先节点，再删除	性能高于线性查找	暂未找到，欢迎补充
平衡二叉树	AVL	索引树，BST进化版，自平衡，查找效率稳定	有	最好最坏都是O(lgn)	最多须要2次旋转	最多须要lgN次旋转（参考，本人未证明）	高度平衡，进一步提高查询效率	暂未找到，欢迎补充
红黑树	RBT	索引树，BST进化版，自平衡，查找效率相对稳定	有	基本维持在O(lgn),最坏比AVL略差(2lg(n+1))	最多须要2次旋转，3次变色	最多须要3次旋转（参考，本人未证明）	自平衡，进一步提高查询效率	Java中TreeSet和TreeMap，JDK 8之后，HashMap的设计
B树	^	多路查找树，提高IO效率，索引树进化而来	有	IO次数取决于高度，减小IO次数	1.能够直接插入的状况2.插入后破环平衡，须要进行分裂	1.能够直接删除2.直接删除后破环平衡，先向左右子树“借”节点3.直接删除后破环平衡，左右子树“借”不到节点，合并子树	下降IO次数	文件系统索引和部分非关系型数据库，如MongoDB
B+树	^	多路查找树，提高IO效率，B树进化版	有	进一步减小IO次数	相似B树	相似B树	进一步下降IO次数，范围查询方便，查询性能稳定	大多关系型数据库使用B+树做为索引

另外提一下哈夫曼树，上面的几个都是查找树，而哈夫曼树的设计不是为了查找，而是为了减小编码长度。哈夫曼树多应用于压缩技术（哈夫曼编码）