网络流乱记

不会咕！

基本概念

下面是一些概念，理解便可，不需强记。

网络流图

一个网络流图是一个没有自环的有向连通图，知足：

• 只有一个入度为 \(0\) 的点 \(S\)，称为源点；
• 只有一个出度为 \(0\) 的点 \(T\)，称为汇点；
• 每条边 \((i,j)\) 有一个非负实数权值 \(c_{i,j}\)，称为该边的容量

允许流

允许流，又叫可行流.

在网络流图中，对于每条边 \(e=(i,j)\) 给定实数 \(f_e\)， 若是知足：

• 每一条边的容量 \(f_e\le c_e\)；

• 流量平衡：对于任意 \(x\ne S, T\)，\(\sum\limits_{e=(x,i)}f_e=\sum\limits_{e=(i,x)}f_e\)；

• 对于源点 \(S\) 和汇点 \(T\) 有：\(\sum\limits_{e=(S,i)}f_e=\sum\limits_{e=(i,T)}f_e=W\)

  即源点流进去多少，汇点就会流出多少，不会有流量的损失.

则称这一组 \(f\) 为该网络的一个允许流，\(W\)称为他的流量。

最大流

一个容量 \(W\) 最大的允许流 。

可增广路

可增广路，又叫可改进路.

介绍这个概念以前，先看看几个别的概念：

给定一个允许流 \(f\) 。

• 若对于一条边 \((i,j)\) 有 \(f_{i,j}=c_{i,j}\)，则称 \((i,j)\) 为饱和弧，不然称非饱和弧；
• 若对于一条边 \((i,j)\) 有 \(f_{i,j}=0\)，则称 \((i,j)\) 为零流弧，不然称非零流弧；
• 定义一条道路 \(P\)，起点是 \(S\)，终点是 \(T\)。把 \(P\) 上全部与 \(P\) 方向一致的弧称为正向弧 ，正向弧的全体记为 \(P^+\)；把 \(P\) 上全部与 \(P\) 方向相悖的弧称为反向弧，反向弧的全体记为 \(P^-\)

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给定一个允许流 \(f\)，\(P\) 是从 \(S\) 到 \(T\) 的一条道路，若是知足：

• \(f_{i,j}\) 是非饱和弧，且 \((i,j)\in P^+\)；
• 或 \(f_{i,j}\) 是非零流弧，且 \((i,j)\in P^-\)

那么就称 \(P\) 是 \(f\) 的一条可增广路，之因此称为”可增广路“，是由于可改进路上弧的流量经过必定的规则修改，能够使整个流量放大。

最大流算法

基本思路：不断尝试寻找增流路径，增长允许流的流量，直到没法增长为止，此过程称为增广过程

Ford-Fulkerson 标号方法

简介

\(\text{Ford-Fulkerson}\)，一种迭代算法，先对图中全部顶点对的流清零（此时网络流大小也为 \(0\)）。在每次迭代中，经过寻找一条增广路径来增长流的值，一直迭代到没法再找到增广路径为止。

概念：残留网路

剩余的容量+反向平衡的流量共同构成了残留网络。

EK算法

SAP算法

Dinic算法

最小费用最大流

题……

写在最后

感谢 ACM大神 dengsiyu 和 XLightGod 大神的讲课！

参考资料：