动态规划解题方法

时间 2021-01-15

标签 java python 面试算法后端数组 app 优化 spa code 栏目应用数学繁體版

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魔幻的 2020 让咱们怀疑人生是否存在最优解？咱们某个时间的决策到底是否正确？历史不能改变，但却会重演，咱们究竟要从过去中学到什么呢？java

让咱们一块儿从动态规划中，来找寻这些问题的答案吧～python

（咳咳，今天开始回归算法系列，来聊一聊以前的算法文章中没有讲到的内容。面试

什么是动态规划

动态规划（Dynamic Programic，简称 DP）是一种求解最优解的方法，它是一种特殊的分治思想，利用它能够实现时间复杂度的优化，有时也能够进行空间复杂度的优化，有时是须要更多的空间的（相比其余方法）。算法

dynamic 是动态的意思，也就是变化的，programing 能够理解为方程（我瞎说的），结合起来就是动态规划是用状态转移方程来求得最优解的算法。后端

在解释动态规划的时候，咱们顺便理一理和它相关的两种思想——分治和贪心算法。数组

分治

分治是把大问题分解成若干个子问题，这样的能分解性质就是最优子结构的。app

最简单的例子就是小明在解决问题 A 的时候，发现问题 A 是由问题 B 和 C 一块儿组成的，因此他想要解决问题 A，就须要把 B、C 一块儿去解决。优化

动态规划

动态规划是分治法的特例。spa

动态规划比分治法多了一种，就是重叠的子问题。code

什么是重叠的子问题呢？举个例子来说，可爱的小明遇到了一个可爱的问题，那就是问题 A，可是在前面须要解决一连串的问题，咱们用A1，A2，A3，A4 ... A来表示，在解决A1以后会用它的解去解决相似的问题A2，
而后再去解决A3，最终再去解决 A，这就是重叠的子问题的典型表明。（下面的例题还会解释这个概念）

贪心

贪心比动态规划更加的特殊，它还须要问题知足另一个性质——贪心选择性质，每次均可以把原问题分解成为一个子问题。

实际上再用动规的例子来讲明贪心，在解决A1，A2，A3，A4 ... A的时候，他发现解决不光有一种重叠子问题的性质在里面，更有趣的是，解决A1须要一种特殊的规则。

例如小明如今在玩电脑游戏，而电脑游戏的最终目的是到达A，而他又发现，只要一直往右边走就能到达最终的目的地了。这就是一种贪心的算法，在每次往右边走，就是一种特殊的规则，而走到目的地A须要不少重复的子问题，也即每次活动一个单位。

入门

其实在好久以前我写的一篇文章中，以斐波那契数列这道基本题为例，详细阐述了从递归到 DP 的优化方法和思路，以及简单题的不简单的答法，你们不妨先去复习一下：

这才是面试官想听的：从递归到 DP 的优化

而后咱们再来看看通常的动态规划解题思路。

解题思路

回到动态规划，这里有四个基本的概念：

state（状态表示）
function（转移方程）
initial（初始化）
final state（最终的状态）

在刚开始的时候，咱们首先须要构建一个存储数据的表格，通常是数组或者矩阵，而后设定好每个格子到下一个格子须要的转移方程。

而后去执行重复的步骤，从初始化的状态一直计算到最终须要的状态。

回到小明的例子，刚开始的时候小明须要肯定一个 state（A0表明的是什么），而后找到A0与A1之间的关系，从初始化开始一直计算到最终的状态。

接下来，咱们以 Leetcode 120 来详细的讲解这个算法。

题目描述

如今咱们来分析一下这个题目，首先咱们分析一下为何它是一个动态规划的问题。

题目是要找到一种路径的和，这种路径和是要最小的，也就是求一个最优解。

由于这是路径，咱们就是在每一层里面选择一个合适的数字，而后连成一个路径，在这道题目里面，最小的路径是2-3-5-1，在第一层挑了2，在第二层挑了3。也就是说总的问题拆分红了每一层的问题，而每一层之间都有一种依赖性在里面，例如第二层选择了3以后只能在6,5之中选择一个，不能跳到7，这就是重叠子问题。

咱们用f[i][j]表示从三角形顶部走到位置 [i][j] 的最小路径和。这里的位置 i, j 指的是三角形中第 i 行第 j 列的位置。

因为只能是从一个节点到相邻的两个节点（树），所以要想走到位置 [i][j]，上一步就只能在位置 [i-1][j-1] 或者位置 [i-1][j]。

咱们在这两个位置中选择一个路径和较小的来进行转移，状态转移方程为：

f[i][j]=min(f[i−1][j−1],f[i−1][j])+c[i][j]，

其中 c[i][j] 指的是triangle[i][j]的数值。

方法一

当设定完通项方程以后，咱们还须要设定一些特殊的转化方程：

当靠近左边界时，也就是 j = 0 时，因而没有f[i-1][j−1]这一项，状态转移方程变为：

f[i][0]=f[i−1][0]+c[i][0]

当靠近右边界时，咱们直接用上一层斜上角位置的数值进行计算：

f[i][i]=f[i−1][i−1]+c[i][i]

最终，咱们只须要在 dp 三角形的最后一行找到最小值就能够了。

那么初始的状态是什么呢？

实际上就是刚开始的时候设定 dp 的第一个单位的数值为cp[0][0]，也便是dp[0][0] = c[0][0]。

状态转换图以下所示：

代码以下：

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
       // 建立表格
        int[][] dp = new int[triangle.size()][triangle.size()];
        dp[0][0] = triangle.get(0).get(0);
       // 动态规划的方程式
        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                int curr = triangle.get(i).get(j);
                if (j == 0) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + curr;
                } else if (j == i) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + curr;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + curr;
                }
            }
        }
        int res = dp[triangle.size()-1][0];
        for (int j = 1; j < triangle.size(); j++) {
            res = Math.min(res, dp[triangle.size()-1][j]);
        }
        return res;
    }
}

下面来分析这个问题的时间复杂度以及空间复杂度，通常来讲空间复杂度是就是 DP 表格的大小。

在这道问题中是 O(n^2)，而对于时间复杂度来讲，就是整个 dp 的遍历次数，而在这个问题中咱们只进行了一次遍历，也即一个矩阵的遍历，因此是O(n^2)。

而若是想要优化到 O(n)，咱们须要怎么作呢？

实际上这个就涉及到了一种状态压缩的方法，也即压缩这个状态表。

那么怎么去压缩呢？

这个问题比较简单，由于dp[i][j]仅仅与上一层的状态有关，因此说与前两层的是没有任何关系的，所以咱们没必要存储这些无关的状态。

实际上最简单的状态压缩就是保留好前两个状态便可，例如在计算第四行的时候，保留第三行以及第二行的状态表，而后交替的进行更新就能够啦。

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
      // 只保留最近 2 行
        int[][] dp = new int[2][triangle.size()];
        dp[0][0] = triangle.get(0).get(0);
        for (int i = 1; i < triangle.size(); i++) {
            int row = i % 2;
            int prevRow = (i-1) % 2;
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (j == 0) {
                    dp[row][j] = dp[prevRow][j] + triangle.get(i).get(j);
                } else if (j == i) {
                    dp[row][j] = dp[prevRow][j-1] + triangle.get(i).get(j);
                } else {
                    dp[row][j] = Math.min(dp[prevRow][j-1], dp[prevRow][j]) + triangle.get(i).get(j);
                }
            }
        }

        int res = dp[(triangle.size() - 1) % 2][0];
        for (int j = 1; j < triangle.size(); j++) {
            res = Math.min(res, dp[(triangle.size() - 1) % 2][j]);
        }
        return res;
    }
}

这个的空间复杂度是 O(2n)，能不能压缩成严格意义上的O(n)呢？

那么再日后是否还可以进行状态的压缩呢？

答案是能够的，咱们能够再想一种方程而后达到最优的空间复杂度的目标。

当咱们在计算位置 [i][j] 时，f[j+1] 到 f[i] 已是第 i 行的值，而 f[0] 到 f[j] 仍然是第 i-1 行的值。

此时咱们直接经过 f[j] = min(f[j−1], f[j]) + c[i][j]来计算，可是这个时候咱们须要j 是倒着遍历的，由于这样才不会影响以前记录下的状态。

若是从 1 开始，那么计算 2 的时候就会用到新的 1 的数值而不是上一层 1 的数值。

代码以下：

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int[] dp = new int[triangle.size()];
        dp[0] = triangle.get(0).get(0);

        for (int i = 1; i < triangle.size(); i++) {
            dp[i] = dp[i-1] + triangle.get(i).get(i);
            for (int j = i-1; j > 0; j--) {
                dp[j] = Math.min(dp[j-1], dp[j]) + triangle.get(i).get(j);
            }
            dp[0] += triangle.get(i).get(0);
        }

        int res = dp[0];
        for (int j = 1; j < triangle.size(); j++) {
            res = Math.min(res, dp[j]);
        }
        return res;
    }
}

方法 2

方法 1 有点绕，但若是自下向上来理解，就会变得很简单，这个方法也叫 bottom-up，方法 1 则是 top-down。

从结果出发，这个问题是一个发散三角树的问题，从最后一行出发，而后每一行每一行的进行递推，那么第一行就是最终的结果了。

举个最简单的例子：

1
1 2

若是从最底下往上出发，实际上找最小值方法的规律很容易找到，那就是在第二行[1， 2]里面选择一个就能够了，由于他们两个都要走到根节点。

也就是在下一行的两个数里面取个小的就好了，那么结果就是第一行的数值。

咱们先用二维的转移矩阵来解释这个问题，用这种方法也不须要考虑方法 1 里面的边界条件了：
dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + c[i][j]

状态转换图以下所示：

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int[][] dp = new int[triangle.size()][triangle.size()];
        // 建立 DP 空间
        for (int i = 0; i < triangle.size(); i++) {
            dp[triangle.size() - 1][i] = triangle.get(triangle.size() - 1).get(i);
        }

        for (int i = triangle.size() - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < triangle.get(i).size(); j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }

        return dp[0][0];
    }
}

那么在进行状态压缩的时候，咱们该怎么去作呢？

实际上就是只用一个状态表来表示全部的。

由于只是和上一个状态相关，因此说能够表示成以下的形式：

dp[j] = min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle[i][j]，

咱们只用 j 来表明当前的状态，而后最终输出dp[0]便可。

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int[] dp = new int[triangle.size()];
        // 建立 DP 空间
        for (int i = 0; i < triangle.size(); i++) {
            dp[i] = triangle.get(triangle.size() - 1).get(i);
        }

        for (int i = triangle.size() - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j+1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }

        return dp[0];
    }
}

总结

以上就是动态规划解题方法的粗浅介绍，总的来讲，咱们须要注意动态规划的这么几件事情。

肯定是否须要用动态规划；
肯定动态规划的四个部分；
写代码。

实际上难点就是转移方程，这个确实须要大量的积累才可以在面试的时候看穿，甚至有些题没见过的话就是想不出来的。

可是没见过就作不出来的题面试通常也不会考，因此你们也不用太担忧，重点仍是掌握方法，触类旁通。

接下来我也会概括总结一些动态规划的常见题型，和你们一块儿探索最优解。

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齐姐聊算法

我是小齐，后端开发工程师，坐标纽约，曾在投行作 Quant，后加入科技公司 FLAG 中的一家。

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