计算方法（三）矩阵分解1-正交分解(QR分解)

正交分解

矩阵的正交分解又称为QR分解，是将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵的乘积的形式。

任意实数方阵A，都能被分解为 。这里的Q为正交单位阵，即 R是一个上三角矩阵。这种分解被称为QR分解。 QR分解也有若干种算法，常见的包括Gram–Schmidt、Householder和Givens算法。 QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。用一张图能够形象地表示QR分解：
为啥咱们须要正交分解呢？
实际运用过程当中，QR分解常常被用来解线性最小二乘问题，这个问题咱们后面讲述。

提到正交分解就不得不讨论（Householder transformation Householder变换）豪斯霍尔德变换和（Schmidt orthogonalization Schmidt正交化）施密特正交化

Schmidt正交化

定理1 设A是n阶实非奇异矩阵,则存在正交矩阵Q和实非奇异上三角矩阵R使A有QR分解;且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等于1的对角矩阵因子外,分解是惟一的.

定理2 设A是m×n实矩阵,且其n个列向量线性无关,则A有分解A=QR,其中Q是m×n实矩阵,且知足QHTQ=E,R是n阶实非奇异上三角矩阵该分解除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等于1的对角矩阵因子外是惟一的.用Schmidt正交化分解方法对矩阵进行QR分解时，所论矩阵必须是列满秩矩阵。

算法步骤

1. 写出矩阵的列向量;
2. 列向量按照Schmidt正交化正交;
3. 得出矩阵的Q′,R′;
4. 对R′的列向量单位化获得Q，R′的每行乘R′每列的模得푹

matlab代码

function[X,Q,R] = QRSchmidt(A,b)
%方阵的QR的Gram-Schmidt正交化分解法，并用于求解AX=b方程组[m,n]=size(A); 
if m~=n
	%若是不是方阵，则不知足QR分解要求
	disp('不知足QR分解要求');
end
Q=zeros(m,n);
X=zeros(n,1);
R=zeros(n);
for k=1:nR(k,k)=norm(A(:,k));
	if R(k,k)==0
		break;
	end
	Q(:,k)=A(:,k)/R(k,k);
	for j=k+1:n
		R(k,j)=Q(:,k)'*A(:,j); 
		A(:,j)=A(:,j)-R(k,j)*Q(:,k);
	end
if nargin==2
	b=Q'* b;
	X(n)=b(n)/R(n,n);
	for i=n-1:-1:1
		X(i)=(b(i)-sum(R(i,i+1:n).*X(i+1:n)'))/R(i,i);
	end
else
	X=[];
end
end

Householder变换

设A为任一n阶方阵，则必存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角阵R，使得A=QR
设w∈Cn是一个单位向量，令
则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。则对于任意的 存在Householder矩阵H，使得Hx=-au。其中

酉矩阵（unitary matrix）
若n阶复矩阵A知足

则称A为酉矩阵，记之为其中，Ah是A的共轭转置
酉矩阵性质
若是A是酉矩阵

2. 也是酉矩阵；
3. det(A)=1;
4. 充分条件是它的n个列向量是两两正交的单位向量。

算法步骤

1. 将矩阵A按列分块写成A=(α1，α2，...，αn）.若是α1≠0，则可得，存在n阶householder矩阵H1使得因而有
   若是α1=0，则直接进行下一步，此时至关于取，而a1=0.
2. 将矩阵An-1按列分块写成An-1=（αi,α2，... ,αn-1）。若是α1≠0，则可得，存在n-1阶householder矩阵H’2使得 因而有
   此时，令
   
   则H2是n阶Householder矩阵，且使
   
   若是α1=0，则直接进行下一步
3. 对n-2阶矩阵继续进行相似的变换，如此下去，之多在第n-1步，咱们能够找到Householder矩阵H1，H2，...，Hn-1使得
   
   令，则Q是酉矩阵之积，从而必有酉矩阵而且A=QR

matlab代码

function[ X,Q,R ] = QRHouseholder(A,b)
%用Householder变换将方阵A分解为正交Q与上三角矩阵R的乘积，并用于求解AX=b方程组
[n,n]=size(A);
E=eye(n);
X=zeros(n,1);
R=zeros(n);
P1=E;
for k=1:n-1
	%构造w,使Pk=I-2ww'
	s=-sign(A(k,k))* norm(A(k:n,k));
	R(k,k)=-s;
	if k==1
		w=[A(1,1)+s,A(2:n,k)']';
	else
		w=[zeros(1,k-1),A(k,k)+s,A(k+1:n,k)']';
		R(1:k-1,k)=A(1:k-1,k);
	end
	if  norm(w)~=0
		w=w/norm(w);
	end
	P=E-2*w*w';
	A=P*A;
	P1=P*P1;
	R(1:n,n)=A(1:n,n);
end
Q=P1';
if nargin==2
	b=P1*b;
	X(n)=b(n)/R(n,n);
	for i=n-1:-1:1
		X(i)=(b(i)-sum(R(i,i+1:n).*X(i+1:n)'))/R(i,i);
	end
else
	X=[];
end

matlab自带方法

%产生一个3*3大小的魔方矩阵
A=magic(3)
[Q,R]=qr(A)

使用Eigen C++ Eigen提供了几种矩阵分解的方法

分解方式	Method	矩阵知足条件	计算速度	计算精度
PartialPivLU	partialPivLu()	Invertible	++	+
FullPivLU	fullPivLu()	None	-	+++
HouseholderQR	householderQr()	None	++	+
ColPivHouseholderQR	colPivHouseholderQr()	None	+	++
FullPivHouseholderQR	fullPivHouseholderQr()	None	-	+++
LLT	llt()	Positive definite	+++	+
LDLT	ldlt()	Positive or negative semidefinite	+++	++

其中HouseholderQR、ColPivHouseholderQR、FullPivHouseholderQR是咱们目前要用到的QR分解方法
C++的QR分解代码为

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
using namespace std;
int main() {
    Matrix3d A;
    A<<1,1,1,
            2,-1,-1,
            2,-4,5;

    HouseholderQR<Matrix3d> qr;
    qr.compute(A);
    MatrixXd R = qr.matrixQR().triangularView<Upper>();
    MatrixXd Q =  qr.householderQ();
    std::cout << "QR2(): HouseholderQR---------------------------------------------"<< std::endl;
    std::cout << "A "<< std::endl <<A << std::endl << std::endl;
    std::cout <<"qr.matrixQR()"<< std::endl << qr.matrixQR() << std::endl << std::endl;
    std::cout << "R"<< std::endl <<R << std::endl << std::endl;
    std::cout << "Q "<< std::endl <<Q << std::endl << std::endl;
    std::cout <<"Q*R" << std::endl <<Q*R << std::endl << std::endl;
    return 0;
}

输出

好了大功告成，为何我要写计算方法的文章呢，虽然如今有不少的库和包给咱们调用，可是咱们也不能忘了代码的本质是为了解决复杂的数学问题，从根源上去理解一种计算方法有助于咱们对自身代码的优化，好比这些方法咱们能够把它写到FPGA和CUDA等并行或者分布式的计算当中，加速咱们的计算方法，这比直接单机去调用这些库会超乎想象的快。