[知识点] 2.7 前缀和与差分

前言

没有想到前缀和也被单独拿出来做为一节来说，不过也好，还能够顺便讲讲前面又碰到了一次的多维前缀和以及差分。

子目录列表

 

2.7 前缀和与差分

一、前缀和

前缀和：对于数列 a，其第 1, 2, ..., i 项之和，即 a[1] + a[2] + ... + a[i]，称为数列 a 第 i 项的前缀和。

学太高中数学的数列章节就知道，“前缀和”和“前 n 项和 Sn”的概念是等价的。

前缀和有啥用？最简单的，若是咱们要求数列某一个区间 [l, r] 之和，若是预处理了前缀和 sum，则直接 sum[r] - sum[l - 1] 就获得了区间和。

 

二、差分

和前缀和相对的一个概念。

差分：对于数列 a，其第 i 个元素和第 i - 1 个元素的差称为数列 a 第 i 项的差分。

令差分数组为 b，则存在：b[i] = a[i] - a[i - 1]

有意思的是，对差分数组求前缀和就又能够获得原数列 a 了。

sumb[i] = b[1] + b[2] + ... b[i] = a[1] + a[2] - a[1] + ... + a[i] - a[i - 1] = a[i]

那么咱们拿着这个差分数组有什么用捏？

【例题】给定一个数列 a，进行 m 次操做，每次给定三个值 l, r, p，操做类型以下：

① 1 l r p，表示对 a[l..r] 的每个元素加上 p；

② 2 l r，表示查询 a[l..r] 的元素和。

确保全部操做 ① 执行完后才会有操做 ②。

最简单的作法就是对于修改操做逐一加上 p，对于查询操做能够用前面的前缀和来求。但注意到题目最后这个限定：全部修改操做会在任意查询操做以前执行，这样其实咱们能够拿差分数组作文章，每次只修改差分数组的两个端点便可，见下面的图解举例：

是否是很神奇呢？修改的方式很简单，若是修改区间为 [l, r]，则对 b[l] += p, b[r + 1] -=p，具体就不解释缘由了。 

不过限定条件也体现出了这种方式的不足：差分数组至关于提供了一个临时的方舱医院，须要时间搭建，但一旦搭建好了就能很快收容大量病人，而等疫情结束后再拆除；普通医院是现成的，但床位不够效率不高，然而适用于日常的各类疑难杂症，能够随时收治（好像也不是很恰当、）。

因此若是遇到修改操做和查询操做交替出现的状况，差分数组的便捷则彻底体现不出，须要反反复复地在原数组和差分数组之间转化，那和直接枚举的效率不相上下。但同时出现两种操做显然是更符合现实状况的，而要解决这种问题，树状数组和线段树（请参见：）都是很棒的方法，它们适用范围更广于差分数组，可是搭建起来，尤为是线段树，则较为麻烦。

 

三、多维前缀和