【基环树】P1453 城市环路 &&P2607 骑士

1.P1453城市环路

题目背景

一座城市，每每会被人们划分为几个区域，例如住宅区、商业区、工业区等等。B市就被分为了如下的两个区域——城市中心和城市郊区。在着这两个区域的中间是一条围绕B市的环路，环路以内即是B市中心。

题目描述

整个城市能够看作一个N个点，N条边的单圈图(保证图连通)，惟一的环即是绕城的环路。保证环上任意两点有且只有2条路径互通。图中的其它部分皆隶属城市郊区。

如今，有一位名叫Jim的同窗想在B市开店，可是任意一条边的2个点不能同时开店，每一个点都有必定的人流量Pi，在该点开店的利润就等于该店的人流量Pi×K(K≤10000)，K的值将给出。

Jim想尽可能多的赚取利润，请问他应该在哪些地方开店？

输入格式

第一行一个整数N 表明城市中点的个数。城市中的N个点由0~N-1编号。

第二行N个正整数，表示每一个点的人流量Pi(Pi≤10000)。

下面N行，每行2个整数A,B，表示A，B建有一条双向路。

最后一行一个实数K。

输出格式

一个实数M，（保留1位小数），表明开店的最大利润。

输入输出样例

输入 #1复制

4
1 2 1 5
0 1
0 2
1 2
1 3
2

输出 #1复制

12.0

说明/提示

【数据范围】

对于20%的数据，N≤100.

对于另外20%的数据，环上的点不超过2000个

对于50%的数据 N≤50000.

对于100%的数据 N≤100000.

---

前置知识

　　基环树

　　　　咱们都知道，出题人都以出出有意义的题目为己任【其实就是毒瘤

　　　　当咱们能够熟练掌握图上和树上的任务的时候，出题人不爽了。

　　　　某一天，某位毒瘤出题人在深夜被汽车吵醒，以后终于发现一个神奇的东西。

　　　　　　集树形结构和环路于一体，又不至于不可作的东西。

　　　　基环树！！！

　　　　【上面都是我本身yy的QAQ

　　　　无论过程到底是什么样子的了，总之，咱们如今有可能考这个奇怪的东西。

　　　　究竟什么是基环树呢？

　　私自定义1：

　　　　在一棵树上面，加一条边，造成一颗只含有一个环的树【雾

　　　　

　　　　好比这张图。【对不起我又盗图了QAQ

　 私自定义2：

　　　　一张只有一个环的图。

　　　　既然能够当作一张图，咱们都知道图是能够有向的。

　　　　那么基环树也是能够有向的。

　　　　

　　　　指向环的：内向基环树

　　　　

　　　　起源于环的：外向基环树。

　　　　那么怎么才能解决这种问题呢？一会在题面中解释吧。

---

 

本题思路分析

　　咱们从题面中有这样一句话：

　　N条边的单圈图(保证图连通)，惟一的环即是绕城的环路。

　　这说明了什么？

　　构想一下地图的场景，假设只有一个环，那么这张图就是一颗基环树。

　　啊啊啊，好但愿这能是一颗树啊？

　　这样就能采起树形DP了啊QAQ

　　emmm，好像是有办法的，指变成树。

　　咱们仔细想一想，这是一颗在树上加了一条边造成的结构。

　　若是想从新变成一颗树，那么直接删边不就行了嘛？

　　那么究竟删哪条边才合适呢？

　　删环上的边是无疑的，毕竟要保证图的的连通性。

　　可是，环上的边有那么多条，难道要所有都删一遍吗？

　　固然不可能啊？怎么证实呢？

　　实际上，咱们考虑树形DP自己的一些性质。

　　咱们定义 f [ i ] 数组来记录以 i 为根的子树的性质。

　　而后，咱们能够任意选择一条边，分别从这条边的左右端点各跑一次树形DP。

　　这样咱们能够获得两个数组，f [ ]，f ^' [ ]

　　可是因为自己定义是重合的，因此，这个数组维护的信息就同时包括着：

　　　　1. 左节点选，右节点不选

　　　　2. 左节点不选，右节点选

　　　　3. 左右节点都不选

　　这三种状况，恰好把不知足题意的“都选”操做给忽略了，正好是咱们所须要的。

　　那么天然，跑两遍tree DP就OK了。

---

AC代码放送

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<algorithm>
 6 #define ll long long
 7 #define uint unsigned int
 8 using namespace std;
 9 
10 const int MA=1e6+10;
11 ll n,val[MA];
12 struct ss{
13     ll to,nxt;
14 }tr[MA*2];
15 ll head[MA],ecnt=1;
16 
17 inline void add(ll a,ll b) {
18     tr[++ecnt].nxt=head[a];
19     tr[ecnt].to=b;
20 
21     head[a]=ecnt;
22     return;
23 }
24 
25 ll sta,ed,bian;
26 
27 
28 bool vis[MA];
29 
30 void dfs(ll x,ll fa) {
31     vis[x]=1;
32     for(uint i=head[x];i;i=tr[i].nxt) {
33         ll y=tr[i].to;
34         if(y==fa)
35             continue;
36         if(vis[y])  {
37             sta=x;
38             ed=y;
39             bian=i;
40 
41 
42             continue;
43         }
44         dfs(y,x);
45     }
46     return;
47 }
48 
49 double f[MA][2];
50 
51 void dp(ll x,ll fa) {
52     f[x][0]=0;
53     f[x][1]=val[x];
54     for(uint i=head[x];i;i=tr[i].nxt) {
55         ll y=tr[i].to;
56         if(i==bian||i==(bian^1))
57 
58             continue;
59         if(y==fa) 
60             continue;
61         dp(y,x);
62         f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
63         f[x][1]+=f[y][0];
64     }
65     return;
66 }
67 
68 int main()
69 {
70     scanf("%lld",&n);
71 
72     for(uint i=1;i<=n;i++) 
73         scanf("%lld",&val[i]);    
74     for(uint i=1;i<=n;i++) {
75         ll x,y;
76         scanf("%lld%lld",&y,&x);
77 
78         x++,y++;
79         add(y,x);
80 
81         add(x,y);
82 
83     }
84     double k;
85     scanf("%lf",&k);
86 
87     double ans=0;
88     dfs(1,1);
89     dp(sta,sta);
90     double tmp=f[sta][0];
91     dp(ed,ed);
92     ans+=max(tmp,f[ed][0]);
93     printf("%.1lf\n",ans*k);
94     return 0;
95 }

城市环路

 

---

 

2.骑士

题目描述

Z国的骑士团是一个颇有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各界的赞赏。

最近发生了一件可怕的事情，邪恶的Y国发动了一场针对Z国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境中安逸了数百年的Z国又怎能抵挡的住Y国的军队。因而人们把全部的但愿都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一个真龙天子的降生，带领正义战胜邪恶。

骑士团是确定具备战胜邪恶势力的能力的，可是骑士们互相之间每每有一些矛盾。每一个骑士都有且仅有一个本身最厌恶的骑士（固然不是他本身），他是绝对不会与本身最厌恶的人一同出征的。

战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从全部的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的状况），而且，使得这支骑士军团最具备战斗力。

为了描述战斗力，咱们将骑士按照1至N编号，给每名骑士一个战斗力的估计，一个军团的战斗力为全部骑士的战斗力总和。

输入格式

输入文件knight.in第一行包含一个正整数N，描述骑士团的人数。

接下来N行，每行两个正整数，按顺序描述每一名骑士的战斗力和他最痛恨的骑士。

输出格式

输出文件knight.out应包含一行，包含一个整数，表示你所选出的骑士军团的战斗力。

输入输出样例

输入 #1复制

3
10 2
20 3
30 1

输出 #1复制

30

说明/提示

对于30%的测试数据，知足N ≤ 10；

对于60%的测试数据，知足N ≤ 100；

对于80%的测试数据，知足N ≤ 10 000。

对于100%的测试数据，知足N ≤ 1 000 000，每名骑士的战斗力都是不大于 1 000 000的正整数

---

 

思路 分析

　　经过观察题面，咱们发现，这张图上面颇有可能不止一个环，甚至可能不是联通的。

　　可是，能够感性理解一下，对于每个联通块，有且仅有一个环。

　　为何呢？

　　由于，每一个节点都要有一条出边【我恨他，和不少条入边【你们都恨我

　　那么有资格向下发出一条出边的节点也就是根节点了。

　　 如此一来，这就是一片基环树森林。

　　既然有了基环树这么一个优秀的性质，对于森林只须要保证所有的树都被遍历到就行了。

　　最后还有一点，本题的图不是有向图，恨的关系看起来是单向的，但本质上是双向的。

　　好比说A恨B，而后B知道A恨他，因而也不想跟A一块走。【由爱生恨？

---

AC代码放送

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<algorithm>
 6 #define ll long long
 7 #define uint unsigned int
 8 using namespace std;
 9 
10 const int MA=1e6+10;
11 ll n,val[MA];
12 struct ss{
13     ll to,nxt;
14 }tr[MA*2];
15 ll head[MA],ecnt=1;
16 
17 inline void add(ll a,ll b) {
18     tr[++ecnt].nxt=head[a];
19     tr[ecnt].to=b;
20 
21     head[a]=ecnt;
22     return;
23 }
24 
25 ll sta,ed,bian;
26 
27 bool vis[MA];
28 
29 void dfs(ll x,ll fa) {
30     vis[x]=1;
31     for(uint i=head[x];i;i=tr[i].nxt) {
32         ll y=tr[i].to;
33         if(y==fa)
34             continue;
35         if(vis[y])  {
36             sta=x;
37             ed=y;
38             bian=i;
39 
40             continue;
41         }
42         dfs(y,x);
43     }
44     return;
45 }
46 
47 ll f[MA][2];
48 
49 void dp(ll x,ll fa) {
50     f[x][0]=0;
51     f[x][1]=val[x];
52     for(uint i=head[x];i;i=tr[i].nxt) {
53         ll y=tr[i].to;
54         if(i==bian||i==(bian^1))
55 
56             continue;
57         if(y==fa) 
58             continue;
59         dp(y,x);
60         f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
61         f[x][1]+=f[y][0];
62     }
63     return;
64 }
65 
66 int main()
67 {
68     scanf("%lld",&n);
69 
70     for(uint i=1;i<=n;i++) {
71         ll x;
72         scanf("%lld%lld",&val[i],&x);
73 
74         add(i,x);
75 
76         add(x,i);
77 
78     }
79     ll ans=0;
80     for(uint i=1;i<=n;i++) {
81         if(vis[i])
82             continue;
83         dfs(i,i);
84         dp(sta,sta);
85         ll tmp=f[sta][0];
86         dp(ed,ed);
87         ans+=max(tmp,f[ed][0]);
88     }
89     printf("%lld\n",ans);
90     return 0;
91 }

骑士

---

最后的建议

　　提交代码以前必定要看好dfs函数，有没有出现无线递归的状况，否则会MLE。QAQ

祝你们AC愉快！