符号三角形问题-回溯法

问题描述：

　　由14个“+”号和14个“-”号组成的符号三角形。

　　2个同号下面是“+”号，2个异号下面是“-”号。

如图：

　　+　　 +　　 _　　 +　　 _　　 +　　 +

　　    +　　_　 　_　 　_ 　　_ 　　+

　　　　   _ 　　+　　+　　+　　_

　　　　　　  _ 　　+ 　　+ 　_

　　　　　　　　 _ 　　+ 　_

　　　　　　　　　　_ 　_

　　　　　　　　　　   +

在通常状况下，符号三角形第一行有N个符号，该问题要求对于给定n计算有多少种不一样的符号三角形。使其所含的+  — 个数相同。

算法设计：

　　1 x[i] =1 时，符号三角形的第一行的第i个符号为+

　　2 x[i] =0时，表示符号三角形的第一行的第i个符号位-

　　　　　　共有i(i+1)/2个符号组成的符号三角形。

　　3 肯定x[i+1]的值后，只要在前面肯定的符号三角形的右边加一条边就扩展为x[1:i+1]所相应的符号三角形。

　　4 最后三角形中包含的“+”“-”的个数都为i(i+1)/4，所以搜索时，个数不能超过...若超直接能够剪去分枝。

　　5 当给定的n(n+1)/2为奇数时，也不符合三角形要求。

算法描述：

class Triangle { friend int Compute(int); private: void Backtrack(int t); int half, count, **p long sum; }; void Backtrack(int t) { if((count > half) || (t*(t+1)/2-count>half)) return; if(t>n) sum++; else { for(int i=0;i<2;j++) { p[1][t] = i; count+=i; for(int j=2;j<=t;j++) { p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2]; count+=p[j][t-j+1]; } Backtrack(t+1); for(int j=2;j<=t;j++) count -= p[j][t-j+1]; count -= i; } } } int Compute(int n) { Triangle X; X.n = n; X.count = 0; X.sum = 0; X.half = n*(n+1)/2; if(X.half%2 == 1) return 0; X.half = X.half/2; int * * p = new int * [n+1]; for(int i=0;i<=n;i++) p[i] = new int [n+1]; for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j<=n;j++) p[i][j] = 0; X.p = p; X.Backtrack(1); return X.sum; }

算法实例：

#include <stdio.h> #include <conio.h>
#define MAX 100

//global variables
int count=0;//the number of '-'
int sum=0;//the number of the result
int p[MAX][MAX]={0};       //1 is '-' 0 is '+'
int n=0; int half=0;//half=n*(n+1)/4

void back_triangle(int t); int main() { printf("Please input n:"); scanf("%d",&n); half=n*(n+1)/2; if(half%2!=0) { printf("The number that you input is not meaningful for this problem!"); getch(); return 1; } half/=2; back_triangle(1); printf("The result is %d",sum); getch(); return 0; } void back_triangle(int t) { if(count>half || t*(t-1)/2-count>half)//because of this,the "count==half" is not necessary
        return ; if(t>n)   //the count==half is not necessary
 { sum++; for(int temp=1;temp<=n;temp++) { for(int tp=1;tp<=n;tp++) { printf("%d ",p[temp][tp]); } printf("\n"); } printf("\n"); } else { int i; for(i=0;i<2;i++) { p[1][t]=i; count+=i; int j; for(j=2;j<=t;j++) { p[j][t-j+1]=(p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2]); count+=p[j][t-j+1]; } back_triangle(t+1); for(j=2;j<=t;j++) count-=p[j][t-j+1]; count-=i; } } }

运行结果：