经典算法-最大流问题

举例描述

最大流问题是一个很经典的问题，不少人对此也很熟悉，它可以等同于一个线性规划问题。下面给出最大流问题的一个基本描述：以下图所示，s是源点，t为汇点，每条边上数字的含义是边可以容许流过的最大流量。能够将边当作管道，0/3表明该管道每秒最多能经过3个单位的流量，0表明当前流量。最大流问题便是说，从s点到t点，最大容许流量是多少？

公式描述

的流量等于流出该点的流量。这个能够理解为流量守恒，就如同电流同样，流入一个电阻的电流必然等于流出的电流。

那么最大流就能够表示为：

Ford-Fulkerson解法介绍

该方法依赖于三种重要思想：残留网络，增广路径和割

Ford-Fulkerson思想

Ford-Fulkerson是一种迭代的方法。开始时，对全部的u,v属于V，f(u,v)=0(这里f(u,v)表明u到v的边当前流量)，即初始状态时流的值为0。在每次迭代中，能够经过寻找一个“增广路径”来增长流值。增广路径能够看作是从源点s到汇点t之间的一条路径，沿该路径能够压入更多的流，从而增长流的值。反复进行这一过程，直到增广路径都被找出为止。

增广路径

举个例子来讲明下，如图所示，每条红线就表明了一条增广路径，当前s到t的流量为3。固然这并非该网络的最大流，根据寻找增广路径的算法咱们其实还能够继续寻找增广路径。

残留网络

顾名思义，残留网络是指给定网络和一个流，其对应还能够容纳的流组成的网络。具体说来，就是假定一个网络G=（V，E），其源点s，汇点t。设f为G中的一个流，对应顶点u到顶点v的流。在不超过C（u，v）的条件下（C表明边容量），从u到v之间能够压入的额外网络流量，就是边（u，v）的残余容量（residual capacity），定义以下：

r（u，v）=c（u，v）-f（u，v）

举个例子，假设（u，v）当前流量为3/4，那么就是说c（u，v）=4，f（u，v）=3，那么r（u，v）=1。

咱们知道，在网络流中还有这么一条规律。从u到v已经有了3个单位流量，那么从反方向上看，也就是从v到u就有了3个单位的残留网络，这时r（v，u）=3。能够这样理解，从u到v有3个单位流量，那么从v到u就有了将这3个单位流量的压回去的能力。

咱们来具体看一个例子，以下图所示一个流网络

对应的残留网络：

求解步骤举例

1.得到残留网络

2.穷举全部的增广路径

以下图所示：

计算最大流的标号法

这里介绍计算网络最大流的简便方法—标号法，此方法是Ford—Fulkerson 于1956年提出来的，它的原理是利用寻找增广链来不断改善可行流。 设μ是网络中 到 的一条链，规定 到 的方向为μ的方向。 μ上与μ的方向一致的弧称为前向弧，前向弧的集合记为μ＋， μ上与μ的方向相反的弧称为后向弧，后向弧的集合记为μ-。

上图 若给一个可行流｛｝，称网络中 = 的弧为饱和弧，称 ＜的弧为非饱和弧，称 =0的弧为零流弧，称 ＞0的弧为非零流弧。 增广链：设｛｝是可行流， μ是 到 的一条链，若μ知足下列条件，则称μ为关于 f 的增广链。（注意： f =｛｝） 1°对于任何（ ,）∈μ＋，0≤ ＜ （前向弧为非饱和弧） 2°对于任何（ ,）∈μ-，0 ＜≤ （后向弧为非零流弧）

参考：

http://blog.csdn.net/smartxxyx/article/details/9275177 http://blog.csdn.net/smartxxyx/article/details/9293665/ 以及： http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000048/yun/ch7_04.htm