学习过了二叉查找树，想必你们有遇到一个问题。例如，将一个数组{1,2,3,4}依次插入树的时候，造成了图1的状况。有创建树与没创建树对于数据的增删查改已经没有了任何帮助，反而增添了维护的成本。而只有创建的树如图2，才可以最大地体现二叉树的优势。数组
在上述的例子中，图2就是一棵平衡二叉树。科学家们提出平衡二叉树，就是为了让树的查找性能获得最大的体现（至少我是这样理解的，欢迎批评改正）。下面进入今天的正题，平衡二叉树。数据结构
AVL的定义
平衡二叉查找树：简称平衡二叉树。由前苏联的数学家Adelse-Velskil和Landis在1962年提出的高度平衡的二叉树，根据科学家的英文名也称为AVL树。它具备以下几个性质：post
- 能够是空树。
- 假如不是空树，任何一个结点的左子树与右子树都是平衡二叉树，而且高度之差的绝对值不超过1
平衡之意，如天平，即两边的份量大约相同。如定义，假如一棵树的左右子树的高度之差超过1，如左子树的树高为2，右子树的树高为0，子树树高差的绝对值为2就打破了这个平衡。如依次插入1，2，3三个结点（以下图）后，根结点的右子树树高减去左子树树高为2，树就失去了平衡。性能
那么在创建树的过程当中，咱们如何知道左右子树的高度差呢？在这里咱们采用了平衡因子进行记录。学习
平衡因子：左子树的高度减去右子树的高度。由平衡二叉树的定义可知，平衡因子的取值只可能为0,1,-1.分别对应着左右子树等高，左子树比较高，右子树比较高。以下图3d
说到这里，咱们已经能够大概知道平衡二叉树的结构定义须要什么内容了，数据成员，平衡因子，以及左右分支。因此，咱们给出以下的结构定义。你们主要首先先了解平衡因子的各个取值及其含义便可。blog
typedef char KeyType; //关键字排序
typedef struct MyRcdType //记录博客
{数学
KeyType key;
}RcdType,*RcdArr;
typedef enum MyBFStatus //为了方便平衡因子的赋值，这里进行枚举
{ //RH,EH,LH分别表示右子树较高，左右子树等高，左子树较高
RH,EH,LH
}BFStatus;
typedef struct MyBBSTNode //树结点类型定义
{
RcdType data; //数据成员
BFStatus bf; //平衡因子
struct MyBBSTNode *lchild,*rchild; //左右分支
}BBSTNode,*BBSTree;
AVL树的插入时的失衡与调整
前言：这部分的失衡调整是指插入时的失衡与调整。删除的失衡与调整与插入大体同样，可是仍是有不少不一样，在后续章节讲解。
1、 失衡与调整的引导
说了这么久，咱们开始进入今天的重点，如何将一棵不平衡的二叉树变成平衡二叉树（只讨论不平衡的是由于假如树是平衡的就没必要咱们进行处理）。平衡二叉树的失衡调整主要是经过旋转最小失衡子树来实现的。
最小失衡子树：在新插入的结点向上查找，以第一个平衡因子的绝对值超过1的结点为根的子树称为最小不平衡子树。也就是说，一棵失衡的树，是有可能有多棵子树同时失衡的，以下。而这个时候，咱们只要调整最小的不平衡子树，就可以将不平衡的树调整为平衡的树。
在图7中。2结点（左子树树高-右子树树高）的绝对值=2。同理，3结点的平衡因子也为2.此时同时存在了两棵不平衡子树，而以3为根的树是最小的不平衡子树。咱们只要将其以3为中心，将最小不平衡树向左旋转，便可获得平衡二叉树，如图8。具体方法后续讲解。
下面咱们先用两个简单的例子来感觉一下调整的方法。
例1：右子树太高，向左旋转。步骤以下
i. 将2做为根结点
ii. 将1做为2的左孩子
iii. 将2的左孩子做为1的右孩子（维护树的有序性，只是此处为NULL而已）
例2：左子树太高，向右旋转。步骤以下
i. 将2做为根结点
ii. 将3做为2的右孩子
iii. 将2的右孩子做为3的左孩子（维护树的有序性，只是此处为NULL而已）
下面咱们再来看一个经过旋转，可是没办法达到平衡的失败例子。
例3：右子树太高，向左旋转。步骤以下
i. 将3做为根结点
ii. 将3的左孩子做为1的右孩子
iii. 将1做为3的左孩子
如上，咱们发现，旋转以后树并无恢复平衡。对比图9，咱们发现，根的右子树不一致。
在上面的三个例子咱们能够看出，咱们对不平衡的树进行旋转的时候，不只须要考虑须要最小失衡子树的根结点的平衡因子，还要考虑根结点较高子树的根结点的平衡因子。如图9与图11中，较高子树都为右子树，右子树不一样，旋转后有着彻底不一样的结果。
为了方便讨论，咱们使用连续的两个字母来表示平衡因子，以表示各类不一样的状况。第一个字母表示最小不平衡子树根结点的平衡因子，第二个字母表示最小不平衡子树较高子树的根结点的平衡因子。使用L表示左子树较高，R表示右子树较高，E表示左右子树等高。如上述图11，根为的平衡因子L，较高子树的根为L，咱们将这种状况表示为LL型，再如上述例子3，根为R，较高子树的根为L咱们将这种状况称为RL型。
下面咱们将对全部的失衡状况进行讨论。大体分为两大类，一左子树太高，二右子树太高。顺带提一下记忆的方法，读者对于具体某一种类型只要记住最后哪个结点做为根便可，也就是下面标红色的部分。
2、失衡与处理详解
1. 左子树太高
a) LL型
在LL型的不平衡树中，咱们首先找到最小不平衡子树，再以其根结点向右旋转。为什么是向右旋转呢？应该不难理解，向右旋转后，至关于右边的子树树高增长了1，而左边的子树树高下降了1，而本来的树高之差为2,那么就可以将根的平衡因子就化为0.引用一下以前的图以下。旋转以后为“原来根结点的左孩子做为新的根结点”。
咱们对树以根结点为中心，向右旋转。旋转步骤以下
i. 将2做为根结点
ii. 将3做为2的右孩子
iii. 将2的右孩子做为3的左孩子（维护树的有序性，只是此处为NULL而已）
旋转后，3与2的平衡因子为EH，1的平衡因子保持不变。
b) LE型
在这里须要说明的是，插入的时候，是不会出现LE的这种状况的。只有在删除的时候才会出现。下面对于为什么插入不可能出现作一些我的看法。
咱们不妨假设存在LE的这种状况。以下。
假设咱们刚插入的元素是1，那么原来的树已经不是平衡树。不可能。
假设咱们刚插入的元素是2.5，那么原来的树也不是平衡树，也不可能。因此说在插入的时候，是不会出现LE的这种状况的。而具体何时会出现呢，咱们在删除的章节进行讲解。同理，不可能出现RE的状况，下面也不进行讨论。读者可使用反证法自行验证。
c) LR型
对于LR，要分为两步进行旋。旋转以后为“原来根结点的左孩子的右孩子做为新的根结点”。
第一以较高子树的根，即1，为中心向左旋转。具体步骤以下。
i. 将2的左子树做为1的右子树（维护树的有序性，只是此处为NULL而已）
ii. 将1做为2的左子树
iii. 将2做为3的左子树
第二以原树的根，即3为中心，向右旋转。最后结果以下
旋转后，1,2,3的平衡因子变为0(无需记忆)。再次发表我的意见，平衡因子要用到的时候推一下就行了。
2. 右子树太高
a) RR型
仍是引用一下以前的例子。旋转的步骤以下。旋转以后为“原来根结点的右孩子做为新的根结点”。
i. 将2做为根结点
ii. 将1做为2的左孩子
iii. 将2的左孩子做为1的右孩子（维护树的有序性，只是此处为NULL而已）
最后1,2,3的平衡因子都为EH。
b)RL型
仍是引用一下以前的例子。与LR型相似，咱们须要进行两次旋转。旋转以后为“原来根结点的右孩子的左孩子做为新的根结点”。
第一，以根结点的右孩子即3为中心向右旋转，结果以下。具体步骤以下
i. 将2做为1的右孩子
ii. 将3做为2的右孩子
iii. 将2的右孩子做为3的左孩子（维护树的有序性，只是此处为NULL而已）
第二，以原根结点即1，做为中心，向左旋转。结果以下。具体步骤以下
i. 将2做为根结点
ii. 将1做为2的左孩子
iii. 将2的左孩子做为1的右孩子（维护树的有序性，只是此处为NULL而已）
最后1,2,3的平衡因子都会EH
三、 插入时失衡与调整的总结
- 在全部的不平衡状况中，都是按照“寻找最小不平衡树”->“寻找所属的不平衡类别”->“根据4种类别进行固定化程序的操做”。
- LL,LR，RR，RL其实已经为咱们提供了最后哪一个结点做为新的根指明了方向。如LR型最后的根结点为原来的根的左孩子的右孩子，RL型最后的根结点为原来的根的右孩子的左孩子。咱们只要记住这四种状况，能够很快地推导出全部的状况。
- 维护平衡二叉树，最麻烦的地方在于平衡因子的维护。想要熟悉这个过程，建议读者多多画图，在感官上首先体验这个过程。
说到这里，咱们已经了解了了解了什么是平衡二叉树，插入结点后如何调整平衡二叉树。咱们数据结构中常常讲到的有增删查改，那么下面咱们来说解一下如何删除。
AVL树的删除时的失衡与调整
今天心血来潮想要写这篇博客的缘由主要就在于此。我在网上找了许久，不少人对于AVL树的查找，插入都讲解得很是精彩，可是删除的时候却常常贴出一段代码，比较少有讲解，对于我等须要完成做业的学生实在难受，完成做业后就但愿可以与你们分享一下。咳咳，咱们回归正题。前方高能，喝口水，看一下窗外帅哥美女再继续看吧。
1、 预备知识
1. 树的删除
假若有一棵二叉查找树以下，咱们对它进行中序遍历，能够获得1, 2, 2.5, 3。咱们发现，这是一个递增的序列。假如咱们如今要删除的结点为3，在不考虑树的平衡问题时，应该哪一个结点来做为顶替3的位置呢呢？答案是：对排序二叉树进行中序遍历时，3的直接前驱或者直接后驱。在这里，就是2.5，因此删除后，不进行调整的结果如中间图。假如咱们如今要删除的结点为2，在不考虑树的平衡问题时，1顶替2的位置（假设左孩子优先于右孩子）。最后以下右图。
具体的步骤以下：
i. 寻找到要删除的结点（3）
ii. 将待删除结点的直接前驱或者直接后驱赋值给待删除结点（2.5赋值给3结点）
iii. 将直接前驱或者直接后驱删除（将叶子结点的2.5删除）
因为咱们今天主要讲的是平衡二叉树的平衡调整，因此这部分就权当给读者恶补一下。假如读者仍是不能理解，请先查看一下二叉查找树的删除，再继续往下看。
2. 平衡因子的预告
咱们已经知道，平衡因子有且仅有三种取值，LH,RH,EH。对于以下的一棵树，删除一个结点后
a) 本来树左右子树等高。根平衡因子的取值变化为EH->LH,EH->RH。
b) 本来树左右子树不等高，在较高的子树上进行删除，根平衡因子的取值变化为LH->EH,RH->EH。须要注意的是，当根的平衡因子变化为LH->EH,RH->EH时整棵树的高度是降低的。最简单的例子以下。如下两棵树，分别删除1,3后，平衡因子LH->EH,RH->EH。最后树的高度都降低了。
c) 本来树左右子树不等高，在较低的子树上进行删除，此时须要对树进行平衡处理。以下删除告终点1，获得右边的不平衡树。
3. 什么会致使树高下降
a) 如第2点的的第b项，根的平衡因子由LH->EH,RH->EH时整棵树的高度是降低的。
b) 创建在a点以及平衡处理正确的基础上，对树进行正确的平衡处理后，树高会下降。为何呢？由于其实最小不平衡子树进行旋转后，最小不平衡子树根的平衡因子老是变
为EH，或者说，平衡调整老是下降了最小不平衡子树的高度。举例以下。树的高度由原来的3变为了2.
2、 正式进入AVL树的删除与调整
1. 删除结点致使平衡二叉树失衡
AVL树也是一棵二叉查找树，因此它的删除也是创建在二叉查找树的删除之上的，只是，咱们须要在不平衡的时候进行调整。而咱们在预备知识的第2点中的C项中已经说起到，假如咱们在较低的子树上进行删除，将会直接致使不平衡树的出现。那么，咱们须要进行平衡处理的，就在于此种状况。举个栗子。
2. 调整不平衡子树后，致使了更大的不平衡子树
假设最小不平衡子树为A，它为双亲结点b的左子树，而b的平衡因子为RH。假设咱们如今对A进行了平衡处理，如上所讲，进行平衡处理将致使树高下降。即咱们让b较矮的子树变得更矮了。此时对于b而言，一样也是不平衡的。此时，咱们须要再一次进行一次平衡处理。举个栗子以下。
假设咱们删除告终点6.那么最小不平衡子树就是1,3，5对应的二叉树。它的双亲10的平衡因子为RH。咱们首先对最小不平衡子树进行调整，结果如右图。咱们发现，最小不平衡子树从根结点的左子树变成了整棵树，因此这个时候咱们又要进行一次平衡调整。具体的平衡调整步骤与插入时是一致的，在这里就赘述。
在讲解插入新的结点进行平衡时，说到删除时与插入时不有着很大的不一样就在于此。插入时，进行一次平衡处理，整棵树都会处于平衡状态，而在删除时，须要进行屡次平衡处理，才能保证树处于平衡状态。
细心的朋友可能发现，上面右图中，最小不平衡子树的较高子树的平衡因子为EH。这个时候，就出现了前面插入时说起的不可能出现的失衡状况。
3. 失衡与调整的最后一种状况LE与RE
LE与RE型的失衡树，在进行调整的时候，和LL与RR型的旋转方式是一致的。只是最后初始根结点的平衡因子不为EH而已。就拿上面的例子而言，调整后的结果以下。初始根结点的平衡因子为RH。相对应的，假如是LE的状况，调整后初始根结点的平衡因子为LH。