//这个才是正确的代码
做者:牛妹
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来源:牛客网java
咱们考虑去枚举n范围内的全部i,而后处理出i的幂那些数。 这个i就叫作底.code
由于a^b=c^d 那么必然存在一个i s.t.下面的十字成立.这个证实作因数分解便可.
考虑对于i ^ x, 咱们须要计算知足 (i ^ x) ^ c = (i ^ y) ^ d的数量,其中i ^ x, i ^ y <= n. 这些咱们能够经过预处理出来。 hash
而后对于(i ^ x) ^ c = (i ^ y) ^ d 其实意味着x c = y d, 意味着(x / y) = (d / c),(由于c,d能够作到互素) 其中x, y咱们能够在预处理以后枚举出来,因而咱们就能够借此计算出n范围内有多少不一样这种c和d去知足等式。
其实就等于 n / max(x / gcd(x, y), y / gcd(x, y)),而后都累加进答案。gcd()表示最大公约数。
中间可能产生重复枚举,咱们用一个set或者hash容器标记一下就好。class
以上枚举对于2~sqrt(n)。最后对于大于sqrt(n)的部分,每一个的贡献都是n。import
import java.util.HashSet;
import java.util.Scanner;
import java.util.Set;
public class Main {
public final static long MOD = 1000000000 + 7;
public static int max(int a, int b){
return (a>b) ? a : b;
}
public static long gcd(long a,long b){
return (a % b == 0) ? b : gcd(b,a%b);
}
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
long n = in.nextInt();
long ans = (long)1*n*(2*n-1) % MOD;//以1为底的个数,这个计算方式是 1.计算1**x=1**y 有n**2个 2.计算x**y=x**y这个有 n**2-n个 减去这个n表示第一种1里面1为底的已经算过了.
//3.因此下面讨论的状况是(i ^ x) ^ c = (i ^ y) ^ d且x!=y且i>1 这种状况.因此i从2取到根号n.容器
Set<Integer> set = new HashSet<>();
for (int i = 2; i*i <= n; i++){ //下面的底至少是2,指数至少也是2,因此i**2<=n
if ( set.contains(i)) continue;
long tmp = i;
int cnt = 0;
while(tmp <= n) {
set.add((int)tmp);
tmp = tmp * i;
cnt++;
}//好比i取2,n=10的时候,那么set就是{2,4,8} cnt=3,以后4,8就不用算了,由于他们属于2这个底
//cnt表示最高能取多少次幂.
for(int k = 1; k <= cnt; k++) {
for(int j = k + 1; j <= cnt; j++) {
ans = (ans + n / (j / gcd(k, j) ) * (long)2 ) % MOD;
//(j / gcd(k, j) )这个操做就是把k,j这个分数变成互素的.
//好比k取1,j取2的时候,ans=ans+10/2*2:由于(i ^ x) ^ c = (i ^ y) ^ d且x!=y且i>1 因此这时也就是 (i ^ 1) ^ c = (i ^ 2) ^ d ,那么d最高取5个数分别是1到5,由于c<=10
//又如k=2,j=3, (i ^ 2) ^ c = (i ^ 3) ^ d ,那么d最高取3个分别是2,4,6,由于c<=10
//这个地方为何这么计算呢由于k,j互素化以后,为了乘积xk=jy,那么x必须是j的倍数,可是x必须小于n
//因此x的取法只有n/j种.(这时j已是(j / gcd(k, j) )了!)
}
}
}
System.out.println(ans);
}
}gc