判断一个数是否为素数（质数）

定义

质数是指在大于1的天然数中，除了1和它自己之外再也不有其余因数的天然数。

实现

直观的方法

int isprime(int x) {
    if (x < 2) return false; // 小于2的数都不是质数
    for (int i = 2; i < x; i++)
        if (x % i == 0) return false;
    return true;
}

显然这个算法的复杂度为\(O(n)\)。

更快的方法

咱们知道，一个数若是能够进行因数分解，那么分解时获得的两个数必定是一个小于等于\(sqrt(n)\)，一个大于等于\(sqrt(n)\)。因此，循环没有必要从\(2\)到\(x-1\)，只须要从\(2\)到\(sqrt(n)\)就行了，那么这个算法的时间复杂度就为\(O\left(sqrt(n)\right)\)。

int isprime(int x) {
    if (x < 2) return false; // 小于2的数都不是质数
    for (int i = 2; i <= int(sqrt(x)); i++) // 从2到sqrt(x)
        if (x % i == 0) return false;
    return true;
}

固然，这个算法还能够继续优化，咱们能够判断2是否是这个数的约数，而后就能够从\(3\)开始循环到\(sqrt(n)\)了，每次循环\(i+2\)，那么这个算法的复杂度就为\(O(sqrt(n)/2)\)。

int isprime(int x) {
    if (x < 2) return false; // 小于2的数都不是质数
    if (x != 2 && x % 2 == 0) return false; // 不是2且能被2整除的数都不是质数
    for (int i = 3; i <= int(sqrt(x)); i += 2) // 每次循环加2
        if (x % i == 0) return false;
    return true;
}

还有更快的吗？——埃拉托斯特尼筛法

即便是上述的算法，在遇到很大的数字\((n\ge{100,000,000})\)的时候，仍是很慢。
那还有没有更快的算法呢？答案是有的，埃拉托斯特尼筛法就是其中之一。

咱们能够把从\(2\)到\(maxn\)的数储存为一张表，例如bool prime[MAXN];。
而后咱们一词遍历这个数组，把\(i\)的倍数从数组中去掉，这样咱们就获得了一张从\(2\)到\(maxn\)的质数的表。
须要判断一个数是否为质数的时候只须要查询这张表就能够了，例如if (prime[i]) // 你的操做。

void getPrime(int maxn) {
    for (int i = 0; i <= maxn; i++) prime[i] = 1; // 所有定义为质数 
    prime[0] = prime[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= maxn; i++) {
        if (!prime[i]) continue;
        for (int j = i * 2; j <= maxn; j += i) prime[j] = 0; // i的倍数标记为合数 
    }
}

引用

素数的四种判断方法、实现及比较：http://www.javashuo.com/article/p-nnilbdev-eh.html