今天花了一下午的时间学习密码学的数论部分，下面将学到的内容进行一下总结，也算是加深记忆。我自己对密码学这方面比较感兴趣，并且本节出现了许多数学公式，使用刚刚学习的LaTex公式来呈现出来，练习练习，何乐而不为。算法
首先给出了群，交换群（阿贝尔群），环，交换环，整环，域的定义，大体以下图所示：
学习
涉及到的第一个重要的新概念就是有限域$GF(p)$ Galois Fieldsblog
有限域的元素个数是一个素数的幂$p^n$，n为正整数，通常记为$GF(p^n)$，咱们最为关注的只有两种状况：n=1即$GF(p)$；p为2即$GF(2^n)$。作用域
$GF(p)$的空间是模p的彻底剩余类$Z_p : \left\{0, 1, \cdots, p-1 \right\}$数学
$GF(2^n)$中的的元素是系数为二进制0和1的多项式，最高不超过n-1次。一个元素能够被表示成一个长度为n的位矢量。例如二进制数$11001_2$在$GF(2^5)$中能够记做$x^4+x^3+1$class
这样来看，$GF(p)$和$GF(2^n)$域中的元素均可以用多项式来表示，一个多项式能够被表示成以下形式：$$f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_0=\sum^n_{i=0}a_{i}x^i$$技巧
下面是重头戏，如何计算？针对三种不一样的做用域咱们定义了三种不一样的多项式运算。二进制
1.普通多项式运算。这个没必要多说，从小学初中就开始学，就是咱们认识的普通多项式。密码
2.系数在$Z_p$中的多项式运算。和普通多项式运算不一样的是，系数要进行模p运算。模能够是任意素数，通常取二，是最简单的状况。例如:$$f(x)=x^3+x^2+1,\ \ g(x)=x^2+x+1\\f(x)+g(x)=x^3+x,\ \ f(x)\times g(x)=x^5+x+1$$im
可见多项式的系数在运算的时候进行了模2处理。
3.有限域$GF(2^n)$上的多项式运算。这种运算和计算机的运做方式很类似，对于一个有限域$GF(2^n)$咱们定义以下要求：系数对2取模运算，最高次数小于n，多项式对n次素多项式取模运算。既然是域那就有逆元，能够用拓展欧几里得算法求逆。
下面分别介绍在$GF(2^n)$上的四则运算：
1.加法（减法）
$GF(2^n)$上的加法即比特串的异或运算，由于是异或，加减实际上是同样的，都是异或而已。$$(x^2+1)+(x^2+x+1)=x\\101_2\oplus 111_2=010_2$$
2.乘法
乘法即比特串的移位和异或运算。实际运算的时候和普通乘法很像，只不过加法变成了异或。下面的运算用了一个小技巧，异或的结果只和参与异或的1的个数有关，奇数则为1，偶数则为0。$$\ \ \ 101\\ \underline{\times011}\\ \ \ \ 101\\ \ \underline{1010}\\ \ 1111$$
或者能够表示为$011_2\times 101_2=(101_2)<<1\oplus (101_2)<<0=1111_2$其中<<为移位符。
3.取模
读者可能会好奇，为何没有除法。这是由于在$GF(2^n)$上取模运算就至关于除法啦。多项式取模有一个简单的算法，重复用既约多项式剪掉最高次项。下面是一个极其简单的例子。$$(x^3+x^2+x+1)mod(x^3+x+1)=x^2\\1111_2mod1011_2=1111_2\oplus 1011_2=100_2$$
这个例子过于简单，若是用$(x^9+x^8+x^6+x^4+x^3+x^2+x+1)mod(x^4+x+1)$即$1101011111mod10011$有两种作法，一种是在被除数后面补上三个0（除数四位 4-1=3），而后像作除法同样除掉除数10011，若是最高位是1就添1，是零就直接写0，最后获得余数0010。还有一种等价作法就是用除数的最高位和被除数的最高位对齐。减（异或）一次，而后继续这个过程直到产生余数。