曲线插值：大直若曲

声明：如下内容出现了一些 TeX 数学公式，它们显示不出来，这不是个人错 :)

更正：段错误网站有个 Bug，它会自动检测文本里是否出现了 TeX 数学公式，而后才能进行公式渲染，但检测规则是必须出现行间公式，即

$$ E = mc^2 $$

这样的公式。

在一些与几何模型设计相关的工做中，设计人员一般会先构造出一些型值点，而这些点每每来自于现实中的一些经验或测量结果。为了美观，或者为了便于加工，或者有些状况下是为了让设计转化为现实以后可以知足现实中的性能需求，例如飞机、汽车、船舶等交通工具都要考虑如何在形体设计上下降流体的阻力，总之，在多数状况下会指望曲线/曲面可以尽可能光滑地穿过这些型值点。

这种问题在 CAGD 中，就是曲线插值问题，即空间中存在一组点，$P_1,\cdots,P_n$，如何用一条多项式曲线光滑的穿过它们。这是计算机辅助几何设计（CAGD）领域的最基本的问题之一。

控制点

因为曲线必须经过 $P_0,\cdots,P_n$，即任何一个 $P_i$，$i\in\{0,1,\cdots,n\}$ 都对曲线的整体形状具备决定做用，所以将 $P_i$ 称为控制点，取其可控制曲线形状之意。

控制点的数量称为待插值曲线的阶数，即曲线的次数加 1。

在一维空间里生活是什么感受

在思考曲线插值这个问题以前，不妨先思考或回顾一下线性插值。或者不妨假设，咱们如今也只会解决线性插值问题。

线性插值，就是求穿过点 $P_0$ 与 $P_1$ 的一条直线。不要去回想咱们曾经学过的在直角坐标系上定义的直线方程了，缘由很简单，直线之因此是直线，并不是直角坐标系决定的，而是它的内蕴决定的。

过 $P_0$ 与 $P_1$ 的一条直线，它的内蕴是 $P(t) = \frac{t_1 - t}{t_1 - t_0}P_0 + \frac{t - t_0}{t_1 - t_0}P_1$。为何这样说呢，由于不管是直线仍是曲线，它们构成的是一维空间，这里的 $t$ 就是这个空间中任意一个点的「坐标」。

若是我生活在这条直线以内，那么我只知道我在这个空间中的任何走动只会致使 $t$ 发生变化，除此以外，我一无所知。至于我在这条直线所嵌入的那个空间内，我是 $P_0$ 仍是 $P_1$ 或者其余什么东西，那都与我无关。固然，若是你生活与 $P_0$ 与 $P_1$ 同一维度的空间里，当我自认为通过 $t = t_0$ 时，在你看来，我通过的是 $P_0$，而当我自认为通过 $t = t_1$ 时，在你看来则是通过 $P_1$。

我甚至不知道这个空间是否是弯曲的，由于在我看来，它始终都是直的，并且只有两个方向，除非我发现我向一个方向走啊走，有一天发现我又走回了我出发的地方，这时我能够断言我所在的空间是弯曲的。

我不知道个人空间弯曲了

如今，你在你生存的世界里要对不共线的三个点 $P_0$、$P_1$、$P_2$ 进行曲线插值，插值的结果就是让我生存的空间变得弯曲，然而我却对此一无所知。当我在这个空间中走动的时候，当我通过 $t_0$、$t_1$、$t_2$ 时，我一直以为是在一个平直的空间里行走，而在你看来，我通过的则是 $P_0$、$P_1$、$P_2$ 。

那么，你应当如何给我制造这样的空间呢？很简单，就是作三次线性插值。第一次是对 $P_0$ 与 $P_1$ 进行线性插值，结果为 $P_{01}(t)$。第二次是对 $P_1$ 与 $P_2$ 进行线性插值，结果为 $P_{12}(t)$。第三次是对 $P_{01}(t)$ 与 $P_{12}(t)$ 插值，结果为 $P_{012}(t)$。 结果就是，你在你的世界里构造了一条弯曲的 2 次光滑曲线 $P_{012}(t)$，并让它无比精确地穿过了 $P_0$、$P_1$、$P_2$，然而在我看来，个人空间依然平直。

大直若曲

$P_{01}(t)$ 与 $P_{12}(t)$ 很容易理解，在你的空间里，它是两条相交的直线，$P_1$ 是交点。那么，如何对 $P_{01}(t)$ 与 $P_{12}(t)$ 进行线性插值呢？显然，在 $t_0 \le t \le t_1$ 时，你但愿我位于 $P_{01}(t)$ 中，而 $t_1 \le t \le t_2$ 时，你但愿我位于 $P_{12}(t)$ 中，能同时知足这些要求的对 $P_{01}(t)$ 与 $P_{12}(t)$ 的线性插值形式只有一种，即 $P_{012}(t) = \frac{t_2 - t}{t_2 - t_0}P_{01}(t) + \frac{t - t_0}{t_2 - t_0}P_{12}(t)$。

这彷佛没什么难理解的，在大家的世界里，曾经有个叫欧几里得的老先生说过，过相异两点，能做且只能做一条直线。对于 $P_{012}(t)$ 而言，按照这位老先生说的去理解就没错。$P_{01}(t)$ 与 $P_{12}(t)$ 虽然是直线，可是只要固定 $t$，它们就得老老实实地「坍缩」为两个点，而此时 $P_{012}(t)$ 是过这两个点的直线上的一点。若不固定 $t$，而是让它递增或递减的发生变化，那么 $P_{012}(t)$ 就能够造成一条曲线。所以，咱们也能够像欧老先生那样说话，过相交的两条直线，经过线性插值能做且只能做一条二次曲线。

还能够说得更普遍，过两条相异且存在部分区域重叠的 n 次曲线，经过线性插值，能做且只能做一条 n + 1 次曲线。例如，若沿袭上文对 $P(t)$ 的标记方式，那么对 $P_{012}(t)$ 与 $P_{123}(t)$ 这两条相异且存在部分区域重叠的二次曲线进行线性插值，能够获得 $P_{0123}(t)$，它是一条三次曲线，过 $P_0$、$P_1$、$P_2$、$P_3$ 四个点。

像 $P_{01\cdots n}(t)$ 这样的函数，在中学数学课本里称为多项式。如今，它的系数包含着 n + 1 个点，它就被称为多项式曲线了。数学家们已经证实了，过 n + 1 个点的 n 次多项式曲线不只存在，并且唯一。正是基于这一结论，在上文我才敢胡说八道，开欧几里得老先生的玩笑。

你看，就一直在玩线性插值的戏法，结果能变出来在你看来挺弯曲的线，而对于活在一维空里的我看来，它仍是一条很直的线……咱们这个空间，也有个老先生，他实在是太老了，因此叫老子，他说，大直若曲，大巧若拙。此言真是不虚啊。后来，还有个叫姜太公的老先生，用直的鱼钩钓了条大鱼。

Neville 算法

有位老先生，名叫 Eric Harold Neville，是一个数学家。他提出一个算法，很简洁地描述出上述的曲线插值过程。这个算法以他的姓氏命名，叫 Neville 算法。这位老先生，我国的人知道的彷佛并不太多。在百度上搜索「Neville 算法」，结果连前 3 页都未能占满。

这个算法很简单，用图的形式描述起来会很直观，不过它倒是计算机算法类教科书说不清、道不白的大名鼎鼎的动态规划算法。以 2 次曲线插值三个点为例，下面即是 Neville 算法的动态规划图：

我在 Hamal 项目中提供了这个算法的 Python 实现，见 https://github.com/liyanrui/h...

这个脚本的用法以下：

$ python3 neville --curve="foo-curve" --sample=100 --nodes=foo-nodes.asc foo.asc

foo.asc 为控制点集文件，其中每一行是控制点的坐标，例如：

1 1 0
3 2 0
4 3 0
7 2 0

foo-nodes.asc 为控制点对应的 t 值，例如：

0
1
2
3

neville 脚本会根据 --sample 选项的值做为采样次数对插值曲线进行均匀采样。例如，当 --sample 指定的值为 10 时，neville 脚本会以 0, 1/10, 2/10, ..., 10/10 对插值曲线进行求值，从而获得 10 个点，这些点被保存在 foo-curve.asc 文件，而它们的链接关系被保存在 foo-curve-graph.asc 文件。这两份文件的名字，前缀部分皆为 foo-curve，由 --curve 选项给定。

可视化

可使用 hamal 脚本将插值曲线的采样点集、采样点之间的关系（造成一组首尾相连的线段集合的关系）以及控制点等数据转换为 POV-Ray 场景文件，交由 povray 进行图形渲染。

对于上一节 neville 脚本示例的输入数据及输出结果，使用 hamal 脚本转换为 POV-Ray 场景文件及图形渲染的命令以下：

$ python3 hamal --object="neville" \
    --curve=foo-curve-graph.asc \
    --control-points=foo.asc --line-width=0.015 \
    --control-point-size=0.04 foo-curve.asc
$ povray +P neville.pov

结果以下图所示：

关于 hamal 脚本的其余用法，见「hamal 指南」。

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