彻底背包完美演绎

背包问题——“彻底背包”详解及实现（包含背包具体物品的求解）

彻底背包是在N种物品中选取若干件（同一种物品可屡次选取）放在空间为V的背包里，每种物品的体积为C₁，C₂，…，C_n，与之相对应的价值为W₁,W₂，…，W_n.求解怎么装物品可以使背包里物品总价值最大。

动态规划（DP）：

        1） 子问题定义：F[i][j]表示前i种物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能获得的最大价值。

        2） 根据第i种物品放多少件进行决策

                                     (2-1)

        其中F[i-1][j-K*C[i]]+K*W[i]表示前i-1种物品中选取若干件物品放入剩余空间为j-K*C[i]的背包中所能获得的最大价值加上k件第i种物品；

       设物品种数为N，背包容量为V，第i种物品体积为C[i]，第i种物品价值为W[i]。

       与01背包相同，彻底背包也须要求出NV个状态F[i][j]。可是彻底背包求F[i][j]时须要对k分别取0,…，j/C[i]求最大F[i][j]值,耗时为j/C[i]。那么总的时间复杂度为O(NV∑(j/C[i]))

由此写出伪代码以下：

[cpp]   view plain copy

1. F[0][] ← {0}  
2.   
3. F[][0] ← {0}  
4.   
5. for i←1 to N  
6.   
7.     do for j←1 to V  
8.   
9.         do for k←0 to j/C[i]  
10.   
11.            if(j >= k*C[i])  
12.   
13.                 then F[i][k] ← max(F[i][k],F[i-1][j-k*C[i]]+k*W[i])  
14.   
15. return F[N][V]  

以上伪代码数组均为基于1索引，即第一件物品索引为1。空间复杂度O(VN)、时间复杂度为O(NV∑(j/C[i]))

        简单优化：

        若两件物品知足C[i] ≤C[j]&&W[i] ≥W[j]时将第j种物品直接筛选掉。由于第i种物品比第j种物品物美价廉，用i替换j获得至少不会更差的方案。

       这个筛选过程以下：先找出体积大于背包的物品直接筛掉一部分（也可能一种都筛不掉）复杂度O(N)。利用计数排序思想对剩下的物品体积进行排序，同时筛选出同体积且价值最大的物品留下，其他的都筛掉（这也可能一件都筛不掉）复杂度O(V)。整个过程时间复杂度为O(N+V)

 

       转化为01背包：

       由于同种物品能够屡次选取，那么第i种物品最多能够选取V/C[i]件价值不变的物品，而后就转化为01背包问题。整个过程的时间复杂度并未减小。若是把第i种物品拆成体积为C[i]×2^k价值W[i]×2^k的物品，其中知足C[i]×2^k≤V。那么在求状态F[i][j]时复杂度就变为O(log₂(V/C[i]))。整个时间复杂度就变为O(NVlog₂(V/C[i]))

 

时间复杂度优化为O(NV)

将原始算法的DP思想转变一下。

设F[i][j]表示出在前i种物品中选取若干件物品放入容量为j的背包所得的最大价值。那么对于第i种物品的出现，咱们对第i种物品放不放入背包进行决策。若是不放那么F[i][j]=F[i-1][j]；若是肯定放，背包中应该出现至少一件第i种物品，因此F[i][j]种至少应该出现一件第i种物品,即F[i][j]=F[i][j-C[i]]+W[i]。为何会是F[i][j-C[i]]+W[i]？由于F[i][j-C[i]]里面可能有第i种物品，也可能没有第i种物品。咱们要确保F[i][j]至少有一件第i件物品，因此要预留C[i]的空间来存放一件第i种物品。

状态方程为：

                           (2-2)

伪代码为：

[cpp]   view plain copy

1. F[0][] ← {0}  
2.   
3. F[][0] ← {0}  
4.   
5. for i←1 to N  
6.   
7.     do for j←1 to V  
8.   
9.         F[i][j] ← F[i-1][j]  
10.   
11.         if(j >= C[i])  
12.   
13.             then F[i][j] ← max(F[i][j],F[i][j-C[i]]+ W[i])  
14.   
15. return F[N][V]  

        具体背包中放入那些物品的求法和01背包状况差很少，从F[N][V]逆着走向F[0][0]，设i=N,j=V，若是F[i][j]==F[i][j-C[i]]+W[i]说明包里面有第i件物品，同时j -= C[i]。彻底背包问题在处理i自减和01背包不一样，01背包是无论F[i][j]与F[i-1][j-C[i]]+W[i]相不相等i都要减1，由于01背包的第i件物品要么放要么不放，无论放仍是不放其已经遍历过了，须要继续往下遍历而彻底背包只有当F[i][j]与F[i-1][j]相等时i才自减1。由于F[i][j]=F[i-1][j]说明背包里面不会含有i，也就是说对于前i种物品容量为j的背包所有都放入前i-1种物品才能实现价值最大化，或者直白的理解为前i种物品中第i种物品物不美价不廉，直接被筛选掉。

        打印背包内物品的伪代码以下：

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1. i←N  
2.   
3. j←V  
4.   
5. while(i>0 && j>0)  
6.   
7.      do if(F[i][j]=F[i][j-C[i]]+W[i])  
8.   
9.           then Print W[i]  
10.   
11.                j←j-C[i]  
12.   
13.         else  
14.   
15.           i←i-1  

        和01背包同样，也能够利用一个二维数组Path[][]来标记背包中的物品。开始时Path[N][V]初始化为0,当 F[i][j]==F[i][j-C[i]]+W[i]时Path[i][j]置1。最后经过从Path[N+1][V+1]逆着走向Path[0][0]来获取背包内物品。其中Path[0][]与Path[][0]为边界。一样，在打印路径的时候当Path[][]=1时，打印W[i]；Path[][]=0时i自减1.

       加入路径信息的伪代码以下：

[cpp]   view plain copy

1. F[0][] ← {0}  
2.   
3. F[][0] ← {0}  
4.   
5. Path[][] ← 0  
6.   
7. for i←1 to N  
8.   
9.     do for k←1 to V  
10.   
11.         F[i][k] ← F[i-1][k]  
12.   
13.         if(k >= C[i] && F[i][k] < F[i][k-C[i]]+W[i])  
14.   
15.             then F[i][k] ← F[i][k-C[i]]+W[i]  
16.   
17.                  Path[i][k] ← 1  
18.   
19. return F[N][V] and Path[][]  

打印背包内物品的伪代码以下：

[cpp]   view plain copy

1. i←N  
2.   
3. j←V  
4.   
5. while(i>0 && j>0)  
6.   
7.      do if(Path[i][j]=1)  
8.   
9.           then Print W[i]  
10.   
11.                j←j-C[i]  
12.   
13.         else  
14.   
15.           i←i-1  

优化空间复杂度为O（V）

        和01背包问题同样，彻底背包也能够用一维数组来保存数据。算法样式和01背包的很类似，惟一不一样的是对V遍历时变为正序，而01背包为逆序。01背包中逆序是由于F[i][]只和F[i-1][]有关，且第i件的物品加入不会对F[i-1][]状态形成影响。而彻底背包则考虑的是第i种物品的出现的问题，第i种物品一旦出现它势必应该对第i种物品还没出现的各状态形成影响。也就是说，原来没有第i种物品的状况下可能有一个最优解，如今第i种物品出现了，而它的加入有可能获得更优解，因此以前的状态须要进行改变，故须要正序。

状态方程为：

                          (2-3)

 

伪代码以下：

[cpp]   view plain copy

1. F[] = {0}  
2.   
3. for i←1 to N  
4.   
5.     do for k←C[i] to V  
6.   
7.         F[k] ← max(F[k],F[k-C[i]]+W[i])  
8.   
9. return F[V]  

        具体背包中放入那些物品的求法和上面空间复杂度为O(NV)算法同样，用一个Path[][]记录背包信息。但这里面是当F[i]=F[i-C[i]]+W[i]时将Path置1.

        伪代码以下：

[cpp]   view plain copy

1. F[0][] = {0}  
2.   
3. F[][0] = {0}  
4.   
5. Path[][] ← 0  
6.   
7. for i←1 to N  
8.   
9.     do for k←C[i] to V  
10.   
11.         if(F[i] < F[k-C[i]]+W[i])  
12.   
13.             then F[i] ← F[k-C[i]]+W[i]  
14.   
15.                  Path[i][k] ← 1  
16.   
17. return F[N][V] and Path[][]  

        打印路径的伪代码和前面未压缩空间复杂度时的伪代码同样，这里再也不重写。

 

         举例：表2-1为一个背包问题数据表，设背包容量为10根据上述解决方法可获得对应的F[i][j]如表2-2所示，最大价值即为F[6][10].

表2-1背包问题数据表

物品号i	1	2	3	4	5	6
体积C	3	2	5	1	6	4
价值W	6	5	10	2	16	8

 

表2-2前i件物品选若干件放入空间为j的背包中获得的最大价值表

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	6	6	6	12	12	12	18	18
2	0	0	5	6	10	11	15	16	20	21	25
3	0	0	5	6	10	11	15	16	20	21	25
4	0	2	5	7	10	12	15	17	20	22	25
5	0	2	5	7	10	12	16	18	21	23	26
6	0	2	5	7	10	12	16	18	21	23	26

 下面针对前面提到的表2-1提供两种方法的测试代码：

 

[cpp]   view plain copy

1. #include <iostream>  
2. #include <cstring>  
3. #include "CreateArray.h"        //该头文件用于二维数组的建立及销毁，读者本身实现  
4.   
5. using namespace std;  

 

//时间复杂度O(VN),空间复杂度为O(VN)

[cpp]   view plain copy

1. int Package02(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)  
2. {  
3.     int** Table = NULL;  
4.     int** Path = NULL;  
5.     CreateTwoDimArray(Table,nLen+1,nCapacity+1);    //建立二维数组  
6.     CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1); //建立二维数组  
7.       
8.     for(int i = 1; i <= nLen; i++)  
9.     {  
10.         for(int j = 1; j <= nCapacity; j++)  
11.         {  
12.             Table[i][j] = Table[i-1][j];  
13.             if(j >= Weight[i-1] && Table[i][j] < Table[i][j-Weight[i-1]]+Value[i-1])  
14.             {  
15.                 Table[i][j] = Table[i][j-Weight[i-1]]+Value[i-1];  
16.                 Path[i][j]=1;  
17.             }  
18.         }  
19.     }  
20.   
21.     int i = nLen, j = nCapacity;  
22.     while(i > 0 && j > 0)  
23.     {  
24.         if(Path[i][j] == 1)  
25.         {  
26.             cout << Weight[i-1] << " ";  
27.             j -= Weight[i-1];  
28.         }  
29.         else  
30.             i--;  
31.     }  
32.     cout << endl;  
33.   
34.     int nRet = Table[nLen][nCapacity];  
35.     DestroyTwoDimArray(Table,nLen+1);   //销毁二维数组  
36.     DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1);    //销毁二维数组  
37.     return nRet;  
38. }  

//时间复杂度O(VN)，不考虑路径空间复杂度为O(V)，考虑路径空间复杂度为O(VN)

[cpp]   view plain copy

1. int Package02_Compress(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)  
2. {  
3.     int * Table = new int [nCapacity+1];  
4.     memset(Table,0,(nCapacity+1)*sizeof(int));  
5.   
6.     int** Path = NULL;  
7.     CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1);     //建立二维数组  
8.   
9.     for(int i = 0; i < nLen; i++)  
10.     {  
11.         for(int j = Weight[i]; j <=nCapacity; j++)  
12.         {  
13.             if(Table[j] < Table[j-Weight[i]]+Value[i])  
14.             {  
15.                 Table[j] = Table[j-Weight[i]]+Value[i];  
16.                 Path[i+1][j] = 1;  
17.             }  
18.         }     
19.     }  
20.   
21.     int i = nLen, j = nCapacity;  
22.     while(i > 0 && j > 0)  
23.     {  
24.         if(Path[i][j] == 1)  
25.         {  
26.             cout << Weight[i-1] << " ";  
27.             j -= Weight[i-1];  
28.         }  
29.         else  
30.             i--;  
31.     }  
32.     cout << endl;  
33.   
34.     int nRet = Table[nCapacity];      
35.     DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1);    //销毁二维数组  
36.     delete [] Table;  
37.     return nRet;  
38. }  

测试代码：

[cpp]   view plain copy

1. int main()  
2. {  
3.     int Weight[] = {3,2,5,1,6,4};  
4.     int Value[] =  {6,5,10,2,16,8};  
5.     int nCapacity = 10;  
6.     cout << Package02(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;  
7.     cout << Package02_Compress(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;  
8.     return 0;  
9. }