黎曼zeta函数不需解析延拓

欧拉乘积公式

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}=\prod_{p}^{}\frac{1}{1-p^{-s}}$

这是欧拉的证实，因为黎曼把 $s$ 推广到了复数域，欧拉乘积公式成了黎曼 $\zeta(s)$ 函数，这一荣誉被后人让给了他。咱们来看看证实过程，设 $s$是复数
$O(s)=\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\cdots(1)$

等式两边同时乘以第二项：
$\frac{1}{2^{s}}O(s)=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+\frac{1}{10^{s}}+\frac{1}{12^{s}}+\cdots(2)$

用(1)式减(2)式：
$(1-\frac{1}{2^{s}})O(s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\cdots(3)$

在(3)式两边同时乘以第三项：
$\frac{1}{3^{s}}(1-\frac{1}{2^{s}})O(s)=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\frac{1}{27^{s}}+\frac{1}{33^{s}}+\cdots(4)$

用(3)式减(4)式：
$(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})O(s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\cdots(5)$

重复这一过程，就能获得：
$\cdots(1-\frac{1}{11^{s}})(1-\frac{1}{7^{s}})(1-\frac{1}{5^{s}})(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})O(s)=1$

这就是
$O(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}=\prod_{p}^{}\frac{1}{1-p^{-s}}=\zeta(s)$

从证实过程能够看出：

(1), $s$是复数也成立;
(2), 根本不需解析延拓;
(3), $\zeta(s)\ne0 , \zeta(s)=0$ 在复数域无解！

这么精妙的证实（历来就不会是长篇大论）只有前无古人后无来者的绝世天才欧拉才想获得，这一荣誉应该还给欧拉！

咱们不该该说: 黎曼 $\zeta$ 函数解密了全部素数的集合的结构；
而是应该说: 欧拉定理（乘积公式）解密了全部素数的集合的结构.

黎曼漫不经心的一个没必要要的假设蒙骗了误导了咱们 $160$年？!