GCD

GCD-欧几里得定理（展转相除）

Elements

\(GCD(a,b)=GCD(b,a\%b)\)

Confirmation

设\(a=bk+c\)，显然有\(c=a\%b\)。设\(d|a\ \ \ d|b\)，则

\[ c=a-bk \]

\[ \frac{c}{d}=\frac{a}{d}-\frac{b}{d}k \]

由右边的式子可知\(\frac{c}{d}\)为整数，即\(d|c\)因此对于\(a,b\)的公约数，它也会是\(a\%b\)的公约数。

反过来也须要证实

设\(d|b\ \ \ d|(a\%b)\)，咱们仍是能够像以前同样获得如下式子

\[ \frac{a\%b}{d}=\frac{a}{d}-\frac{b}{d}k \]

\[ \frac{a\%b}{d}+\frac{b}{d}k=\frac{a}{d} \]

由于左边式子显然为整数，因此\(\frac{a}{d}\)也为整数，即\(d|a\)，因此\(b,a\%b\)的公约数也是\(a,b\)的公约数。

既然两式公约数都是相同的，那么最大公约数也会相同

因此获得式子
\[ gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) \]

Code

因此咱们能够写出一个递归式，层层深刻，直到 \(b%(a%b)==0\)，即正好为倍数整除时，递归回去就好了

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return gcd(b,a%b);
}

最后的返回值天然为\(a，b\)的最大公因数

EXGCD-扩展欧几里得定理

目的：求\(ax+by=gcd(a,b)\)的一组可行解
证实
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设

\[ ax_1+by_1=gcd(a,b) \]

\[ bx_2+(a\,mod\,b)y_2=gcd(b,a\,mod\,b) \]

由欧几里得定理可知：

\[ gcd(a,b)=gcd(b,a\,mod\,b) \]

因此

\[ ax_1+by_1=bx_2+(a\,mod\,b)y_2 \]

又由于

\[ a\,mod\,b=a-(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b) \]

因此

\[ ax_1+by_1=bx_2+(a-(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b))y_2 \]

\[ ax_1+by_1=ay_2+bx_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*by_2=ay_2+b(x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2) \]

由于\(a=a，b=b\)，因此

\[ x_1=y_2 \]

\[ y_1=x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2 \]

将\(x_2,y_2\)不断代入递归求解直至\(GCD\)为0递归\(x=1,y=0\)回去求解，就像\(GCD\)同样的方法

int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (!b) 
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int d=Exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return d;
}

返回的值为\(GCD\)，在这个过程当中计算\(x，y\)便可