分屡次累计随机出某指定整数（屡次随机整数，其和固定）的方法

分屡次累计随机出某指定整数（屡次随机整数，其和固定）的方法
Spads
Shane Loo Li

摘要
本文描述了同过 n 次取随机整数，使其总和为 m 的方法，并对该方法给出了数学证实。

正文
本文分为 5 个部分
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一、提出问题
二、解法程序
三、测试结果
四、测试程序
五、公式证实


【提出问题】
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有 n 次机会，每次随机一个整数。但愿这 n 个整数之和是 m ；该怎么随机呢？

对于编程语言，惯例是提供了随机函数 r() ，获得 [0, 1) 之间的一个随机浮点数。因此从编程角度来讲，随机一个整数，最多见的方式就是经过对 L * r() 向下取整来获取某一个范围内的整数。以上问题就转变成为了，如何得到合适的 L ，来知足 n 次随机的整数之和为 m 。

传统的作法，就是用 2 * m / n 来作这个 L 。问题是由于取整这个操做，让这种算法会产生比较大的偏差。具体偏差有多大，下边测试结果一栏会详细描述。


【解法程序】 —— 以 Java 程序为例
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/**
 * <b>获取总量固定屡次随机的倍率</b><br/>
 * 当程序须要经过必定次数随机，每次随机一个整数，最终获取总和必定的值，
 * 可经过此方法得到随机倍率。<br/>
 * 在获取此倍率 <code>randomLimit</code> 以后，每次随机时经过
 * <code>(int) (new Random().nextDouble() * randomLimit)</code> 得到随机
 * 结果。<br/><br/>
 * 本方法的核心算法，基于证实了以下二个关系式：
 * <pre>
 * (int) (2 * totalNum / chanceCount) + 1 < randomLimit
 * (int) (2 * totalNum / chanceCount) + 2 > randomLimit
 * </pre>
 * 具体推算方法，请见 Spads 的 Shane Loo Li 发表的日志。<br/>
 * http://blog.csdn.net/shanelooli/article/details/10831811
 * @param	totalNum	最终但愿各随机值相加后的总量
 * @param	chanceCount	随机次数
 * @return	每次随机，[0, 1) 标准随机值应该乘以的倍率
 */
static public double getRandomLimit(int totalNum, int chanceCount)
{
	double calculateBase = 2.0 * totalNum / chanceCount;
	int calculateBaseInt = (int) calculateBase;
	double randomLimit = (calculateBaseInt + 2) * (calculateBaseInt + 1)
			/ (2 * calculateBaseInt - calculateBase + 2);
	return randomLimit;
}

【测试结果】
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目标总和为 5000000

随机次数 20000
简易方法： 实际随机数的总和 = 4993051， 偏差 = 0.1389%
Spads Shane的新方法： 实际随机数的总和 = 4997315， 偏差 = 0.0537%

随机次数 50000
简易方法： 实际随机数的总和 = 4946686， 偏差 = 1.10661%
Spads Shane的新方法： 实际随机数的总和 = 4992772， 偏差 = 0.1445%

随机次数 150000
简易方法： 实际随机数的总和 = 4915701， 偏差 = 1.16858%
Spads Shane的新方法： 实际随机数的总和 = 5003719， 偏差 = 0.0743%

随机次数 500000
简易方法： 实际随机数的总和 = 4758806， 偏差 = 4.48234%
Spads Shane的新方法： 实际随机数的总和 = 4997350， 偏差 = 0.0530%

随机次数 1000000
简易方法： 实际随机数的总和 = 4502306， 偏差 = 9.99529%
Spads Shane的新方法： 实际随机数的总和 = 5003257， 偏差 = 0.0651%

随机次数 3000000
简易方法： 实际随机数的总和 = 3602468， 偏差 = 27.279479%
Spads Shane的新方法： 实际随机数的总和 = 4999469， 偏差 = 0.0106%

随机次数 5000000
简易方法： 实际随机数的总和 = 2500655， 偏差 = 49.499820%
Spads Shane的新方法： 实际随机数的总和 = 5000972， 偏差 = 0.0194%

随机次数 8000000
简易方法： 实际随机数的总和 = 1598759， 偏差 = 68.680180%
Spads Shane的新方法： 实际随机数的总和 = 4996882， 偏差 = 0.0623%

随机次数 13000000
简易方法： 实际随机数的总和 = 0， 偏差 = 100.0000%
Spads Shane的新方法： 实际随机数的总和 = 4999994， 偏差 = 0.0001%

随机次数 20000000
简易方法： 实际随机数的总和 = 0， 偏差 = 100.0000%
Spads Shane的新方法： 实际随机数的总和 = 4995380， 偏差 = 0.0924%

能够见到，不管多少次随机，简易方法比 Spads Shane 的新方法偏差都要大。当随机次数较多时，简易方法偏差显著增长；若是随机次数和最终所需的和达到同一个数量级，简易方法的偏差就会极大，使得这种方法没法再使用。

以上测试结果报告，由下边给出的测试程序直接生成。


【测试程序】
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public void testRandomLimit()
{
	// 指定屡次随机的整数加起来的预期总和，并显示
	int totalNum = 5000000;
	System.out.println("目标总和为 " + totalNum);

	// 随机次数
	int[] chanceCounts = {
			20000, 50000, 150000, 500000, 1000000, 3000000,
			5000000, 8000000, 13000000, 20000000
		};

	// 二种方法
	String[] reportTitles = {"\n简易方法：\t\t", "\nSpads Shane的新方法：\t"};
	double[] randomLimits = new double[2];

	// 一个随机数生成对象便可解决问题，不必重复生成此对象
	Random ran = new Random();

	// 遍历各类随机次数，分别测评
	for (int index, methodIndex, chanceIndex = -1;
			++chanceIndex != chanceCounts.length; )
	{
		// 获取本次测评的随机次数，并显示
		StringBuilder report = new StringBuilder();
		int chanceCount = chanceCounts[chanceIndex];
		report.append("\n随机次数 ").append(chanceCount);

		// 分别指定传统方法的随机倍率，和 Spads Shane 新方法的随机倍率
		randomLimits[0] = 2.0 * totalNum / chanceCount;
		randomLimits[1] = getRandomLimit(totalNum, chanceCount);

		// 分别测评二种方法，最终显示结果报告
		for (methodIndex = -1; ++methodIndex != 2; )
		{
			report.append(reportTitles[methodIndex]);

			int realCount = 0;
			double randomLimit = randomLimits[methodIndex];

			for (index = -1; ++index != chanceCount; )
				realCount += (int) (ran.nextDouble() * randomLimit);
			report.append("实际随机数的总和 = ").append(realCount);

			double error = Math.abs(realCount - totalNum) / (double) totalNum;
			int percent = (int) (error * 100);
			report.append("， 偏差 = ").append(percent).append('.');
			String decimalStr = "0000";
			if (percent != 100)
			{
				decimalStr = String.valueOf((int) (error * 1000000) - percent);
				if (decimalStr.length() < 4)
					report.append("0000".substring(decimalStr.length()));
			}
			report.append(decimalStr).append('%');
		}
		System.out.println(report.toString());
	}
}

【公式证实】
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以前咱们看到，程序以一个并不太复杂的四则运算式，经过目标总和 m 与随机次数 n ，获得了随机倍率参量 L 。L 自身将是一个大于 1 的实数。由于若是 L <= 1 ，则 int(L * r()) 恒为 0 。
设 Z = 2m / n
L = [int(Z) + 1][int(Z) + 2] / [2int(Z) - Z + 2]
其中 int(x) 为向下取整函数。

接下来，咱们来证实这个公式的正确性。


一、经过几率核心定律，求得 L 与 m, n 的关系
几率核心定律，认为有 p 几率发生的事情，在尝试屡次后，其发生比例趋近于 p 。

设用 L * r() 取随机数，平均结果为 R ，可知 R * n = m ，即 2R = Z。
这里 r() 为产生 [0, 1) 随机数的函数。

咱们老是能够把 L 表示成 a + b ，其中 a = int(L)，b∈[0, 1) 。由于 L > 1 ，因此 a >= 1 。
因而可以得到用 L, a 表示的 R 的表达式；其中最重要的一点，就是由于取整这种运算的存在，因此随机出 a 的几率，要小于其他整数。
R = { ∑(0 * 1/L) + (1 * 1/L) + (2 * 1/L) + ... + [(a - 1) * 1/L] } + a * (L - a)/L
根据等差数列求和公式，求 R 的表达式具体形式
R = [0/L + (a - 1)/L] * a / 2 + a * (L - a) / L
Z = 2R
  = [a(a - 1) + 2a(L - a)] / L
  = (2aL - a^2 - a) / L


二、证实 a = int(Z) + 1 ，开始的推论
由于 a = L - b ，b∈[0, 1) ，因此为证实 a = int(Z) + 1 ，只须要证实以下二个关系式：
int(Z) + 1 < L ①
int(Z) + 2 > L ②

为此，咱们须要用能够肯定范围的已知量，来表示 int(Z) 。
咱们老是能够把 Z 表示成 int(Z) + c ，其中 c∈[0, 1) 。

根据以前的推论，咱们知道 Z = (2aL - a^2 - a) / L
将 L = a + b ，b∈[0, 1) 代入上式
Z = [2a(a + b) - a^2 - a] / (a + b)
  = (a^2 + 2ab - a) / (a + b)
  = [(a + b)^2 - b^2 - a] / (a + b)
  = a + b - (a + b^2) / (a + b)

至此，咱们看到 Z = int(Z) + c = a + b - (a + b^2) / (a + b)
若是 b - (a + b^2) / (a + b) 是一个可以把绝对值范围控制在 1 之内的量，就能够经过取整原则，求得用 a, b 表示的 c 的表达式。


三、证实 b - (a + b^2) / (a + b) ∈ [-1, 0)
先证实
b - (a + b^2) / (a + b) < 0
↑
b < (a + b^2) / (a + b)
↑ ∵ a + b = L > 1 > 0
b(a + b) < a + b^2
↑
ab + b^2 < a + b^2
↑
ab < a
↑ ∵ a >= 1 > 0
b < 1
原题得证

再证实
b - (a + b^2) / (a + b) >= -1
↑
(a + b^2) / (a + b) - b <= 1
↑
(a + b^2) / (a + b) <= 1 + b
↑ ∵ a + b = L > 1 > 0
a + b^2 <= (a + b)(1 + b)
↑
a + b^2 <= a + ab + b + b^2
↑
0 <= ab + b
原题得证

所以，可知 b - (a + b^2) / (a + b) ∈ [-1, 0)


四、证实 a = int(Z) + 1 ，原题得证
根据上边的结论，
Z = int(Z) + c = a + b - (a + b^2) / (a + b)
int(Z) + c = a - 1 + [1 + b - (a + b^2) / (a + b)]

由于 b - (a + b^2) / (a + b) ∈ [-1, 0)
因此 1 + b - (a + b^2) / (a + b) ∈ [0, 1)

证实，若是 A + B = C + D ，A, C 为整数，B, D∈[0, 1) ，那么 B = D
∵ A + B = C + D
∴ A - C = D - B
若 A - C = 0 ，则 B = D
若 A - C >= 1 ，则 D - B = A - C >= 1
↑
D >= 1 + B
∵ D < 1 且 B >= 0
∴ D >= 1 + B 不成立。
∴ A - C >= 1 不成立。
∴ B = D 且 A = C

所以可知 c = 1 + b - (a + b^2) / (a + b) 且 int(Z) = a - 1
a = int(Z) + 1


五、求得 L 用 Z 的表达式
Z = (2aL - a^2 - a) / L
ZL = 2int(Z)L + 2L - [int(Z) + 1]^2 - int(Z) - 1
ZL - 2L - 2int(Z)L = -1 - [int(Z) + 1]^2 - int(Z)
L * [2 + 2int(Z) - Z] = [int(Z) + 1]^2 + int(Z) + 1
L = [int(Z)^2 + 2int(Z) + 1 + int(Z) + 1] / [2 + 2int(Z) - Z]
L = [int(Z)^2 + 3int(Z) + 2] / [2int(Z) - Z + 2]
L = [int(Z) + 1][int(Z) + 2] / [2int(Z) - Z + 2]


本文还发表于在其它网站
CSDN ： http://blog.csdn.net/shanelooli/article/details/10831811
ITeye ：  http://surmounting.iteye.com/blog/1935022
51CTO ：  http://shanelooli.blog.51cto.com/5523233/1286679